Student

Cálculo científico y técnico con
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3: Aplicaciones
Tema 3.6 Extremos relativos de funciones
de 2 variables
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.3

Contenido
1. Introducción
2. Resolución con la calculadora
3. Recursos gráficos

ÍndiceGeneral
1 Introducción
1.1 Puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Clasificación de puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
3

2 Resolución con la calculadora
2.1 Cálculo de Puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Determinación de extremos . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5

3 Recursos gráficos
3.1 Representación de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
10

Francisco Palacios

1
1.1

Extremos de funciones de 2 variables . 1

Introducción
Puntos críticos

Supongamos que deseamos determinar los extremos relativos de unafunción
de dos variables f (x, y) con derivadas parciales continuas hasta orden 2. En
tal caso, los posibles extremos se producen en los llamados puntos críticos,
que son puntos que anulan simultáneamente las derivadas parciales primeras
de f (x, y). Es decir, (x, y) es un punto crítico si es solución del sistema
½ 0
fx (x, y) = 0,
0
fy (x, y) = 0.
Si tenemos en cuenta que el gradiente de fes el vector
¢
¡ 0
0
∇f (x, y) = fx (x, y), fy (x, y) ,

obtenemos que (x, y) es un punto crítico de f si anula su vector gradiente
∇f (x, y) = ~
0.

Ejemplo 1.1 Puntos críticos de la función
f (x, y) = 4 + x3 + y 3 − 3xy.
Calculamos las derivadas parciales
0
fx (x, y) = 3x2 − 3y,

0
fy (x, y) = 3y 2 − 3x.

Los puntos críticos de f son las soluciones del sistema de ecuaciones½
3x2 − 3y = 0,
3y2 − 3x = 0.
Se trata de un sistema no lineal. Eliminamos el factor 3 en ambas ecuaciones
y despejamos la incógnita y en la primera ecuación
½
y = x2 ,
y2 − x = 0.
Sustituimos en la segunda ecuación y resulta
x4 − x = 0.
Factorizamos el polinomio

y obtenemos

¢
¡
x x3 − 1 = 0
x = 0,

x = 1.

Francisco Palacios

Extremos de funciones de 2 variables . 2Teniendo en cuenta la ecuación
y = x2 ,
resultan los puntos críticos
P2 = (1, 1). ¤

P1 = (0, 0),

Actividad 1.1 Calcula manualmente los puntos críticos de la función
f (x, y) = 2x2 + y 2 − xy − 7y.
(Sol. P = (1, 4))

1.2

Matriz Hessiana

Consideremos las derivadas parciales segundas de f (x, y)
∂2
f (x, y),
∂x2

D11 f (x, y) =

D21 f (x, y) =

∂2
f (x, y),
∂y∂x

D12 f(x, y) =

∂2
f (x, y),
∂x∂y

D22 f (x, y) =

∂2
f (x, y).
∂y 2

La matriz Hessiana de f (x, y) es la matriz de derivadas segundas de f
¶
µ
D11 f (x, y) D12 f (x, y)
.
H(x, y) =
D21 f (x, y) D22 f (x, y)
0
La primera fila de H(x, y) contiene las derivadas parciales de fx , la segunda
0.
fila contiene las derivadas parciales de fy

Ejemplo 1.2 Matriz Hessiana de f (x, y) = x2 +xy + xey .
Las derivadas parciales primeras son
0
fx (x, y) = 2x + y + ey ,

0
fy (x, y) = x + xey .

0
Derivando fx , resulta

D11 f (x, y) =

∂ 0
f = 2,
∂x x

D12 f (x, y) =

∂ 0
f = 1 + ey .
∂y x

0
Derivamos fy ,

D21 f (x, y) =

∂ 0
f = 1 + ey ,
∂x y

D22 f (x, y) =

La matriz hessiana de f (x, y) es
H(x, y) =

µ

2
1 + ey
1 + ey
xey

¶

.

∂ 0f = xey .
∂y y

Francisco Palacios

1.3

Extremos de funciones de 2 variables . 3

Clasificación de puntos críticos

Apoyándonos en la matriz Hessiana podemos determinar el comportamiento
de la función f (x, y) en un punto crítico Pc = (xc , yc ).
• Si D11 f (xc , yc ) > 0 y det [H(xc , yc )] > 0, entonces f tiene un mínimo
relativo en (xc , yc ).
• Si D11 f (xc , yc ) < 0 y det...