SUBESPACIO

subconjunto de algún otro conjunto con cierta estructura, y que posee también esta misma estructura un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones conjunto no vacío W de un espacio vectorial V es un SUBESPACIO de V si W con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V es en si mismo un espacio vectorial.Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.

Condición de existencia de subespacio
El criterio para laverificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Para ello se definen cuatro axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. Sno es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluído en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.
Si estos cuatro axiomas se cumplen, entonces el conjunto es un subespacio
Operaciones con subespacios
Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones
Fórmula deGrassman (o Teorema de las dimensiones)
Sean los subespacios S, W del espacio vectorial V:

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.
Por ejemplo, siendo dim(S) = 3 y dim(W) = 2 y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego,dim(S + W) = 4.
Fórmula de Grassman (o Teorema de las dimensiones)
Sean los subespacios S, W del espacio vectorial V: Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.
Por ejemplo, siendo dim(S) = 3 y dim(W) = 2 y teniendo como intersección unsubespacio de dimensión 1. Luego, dim(S + W) = 4.
Operaciones con subespacios
Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:
Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en loscasos en que S este contenido en W o viceversa.
Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma directa
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si 
Lo que quiere decir también que todo vector de V, seescribe de manera única como la suma de un vector de S y otro deW.

Rango
 Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A(prueba más abajo). Comúnmente se expresa como rg(A).
El número de columnas independientes de una matriz m por n A es igual a ladimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y n.
Cálculo del rango
Dada una aplicación lineal su rango puede calcularse fácilmente considerando una base cualquiera y determinando el rango de la matriz que representa la aplicación en dicha base, ya que el...