Subespacios - linal

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Algebra Lineal 1, agsto-dic, 2003.

La definici´n de sub-espacio vectorial o

La definici´n de “subespacio vectorial” que dimos en la clase de Jueves (18 sept 2003) es ligeramente diferente o de ladel libro del curso. Aqu´ est´ nuestra definici´n: ı a o Definici´n. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F . Un subconjunto W ⊂ V es un sub-espacio vectorial o si 1. 0 ∈ W , 2. w1 , w2 ⇒ w1 + w2∈ W , 3. c ∈ F , w ∈ W ⇒ cw ∈ W . Proposici´n. Sea V un espacio vectorial sobre F , con operaciones s : V × V → V y m : F × V → V de suma o de vectores y multiplicacion por escalar, respectivamente. SeaW un subespacio vectorial de V . Definimos las siguientes operaciones de suma de vectores s : W × W → W y multiplicaci´n por escalar m : F × W → W en o W: • s (w1 , w2 ) := s(w1 , w2 ), para todo w1 ,w2 ∈ W ; • m (c, w) := m(c, w), para todo w ∈ W , c ∈ F . Entonces, con estas operaciones, W es un espacio vectorial, cuyo vector nulo es el vector nulo de V . Demostraci´n. La definci´n de subespaciovectorial implica que s y m estan bien definidos; o sea que o o s (w1 , w2 ), m (c, w) ∈ W , para todo w, w1 , w2 ∈ W , c ∈ F . El hecho que estas operaciones satisfacen las 8 axiomas de espaciovectorial sigue facilmente del hecho que las operaciones en V lo satisfacen. Por ejemplo, para demostrar el axioma 1 (comutatividad de la suma de vectores en W ) tenemos que demostrar que s (w1 , w2 ) = s(w2 , w1 ), para todo w1 , w2 ∈ W . Tenemos entonces que s (w1 , w2 ) = s(w1 , w2 ) = s(w2 , w1 ) = s (w2 , w1 ) De manera similar se demuestran las otras 7 axiomas. Notas: 1. La demostraci´n de estaproposici´n es esencialmente trivial. Sin embargo, muchos alumnos la encuentran o o confusa. ¿Porqu´? Mi teori´ es la siguiente: porque la demostraci´n, apesar de ser matem´ticamente trivial es e a oa muy abstracta y formal, la que la devuelve sicologicamente poco trivial; o sea, la proposici´n es una consecuencia o inmediata de las definiciones (espacio vectorial, sub-espacio vectorial), pero...
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