sucesiones y series numéricas

Sucesiones y series
Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:
0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos númerosanteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.
En la sucesión geométrica el número siguiente de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.
En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.
Una sucesión numérica se formaliza como unaaplicación de los naturales en los reales, es decir :

que escribiremos simplemente como o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale .
El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lomismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .
Una sucesión en es una enumeración de números reales , es decir una aplicación de en .

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de números uno detrás de otro, en un cierto orden.

Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primerasletras en orden alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Unasucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regladebería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n
Término
Prueba
1
3
2n = 2×1 = 2
2
5
2n = 2×2 = 4
3
7
2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
Término
Regla
1
3
2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2
5
2n+1 = 2×2+ 1 = 5
3
7
2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
 
Posición del término

Es normal usar xn para los términos:...