Sucesiones, series numericas en maple

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Ingeniería Técnica en Obras Públicas-Hidrología Cálculo y Análisis Numérico (2003-2004) Práctica Nº1: Sucesiones. Series numéricas. Series de potencias
• Introducción

• Sucesiones de números reales • Series numéricas • Series de potencias
• Problemas

Introducción.En esta práctica se muestran las amplias posibilidades de tratamiento de las sucesiones y series numéricas que ofreceMaple. Trataremos algunos criterios clásicos de la convergencia de series y se verá la forma tan sencilla de sumación de series convergentes que aporta el programa. También se presenta la aplicación al análisis del radio e intervalo de convergencia de las series de potencias.

Sucesiones de números reales
Las sucesiones (funciones de variable entera), se definen del mismo modo que las funciones devariable real. Por ejemplo, para definir la sucesiónf( n ) = > f:=n-> (n^2-1)/(3*n+1)^2; f := n → n2 − 1 ( 3 n + 1 )2 n2 − 1 ( 3 n + 1 )2 , n =1,2, . . ., hacemos:

Veamos el quinto elemento de la sucesión y el número 1350: > [f(5), f(1350)];  3 1822499   ,     32 16410601 

2 Calculemos los 16 primeros términos de esta sucesión. Utilizaremos el comando seq(f(n) , n = inicio ..final); > seq(f(n),n=1..16); 0, 3 49 25 169 32 361 121 625 49 961 289 1369 200 1849 529 2401 , 2 , 15 , 3 , 35 , 12 , 63 , 5 , 99 , 30 , 143 , 21 , 195 , 56 , 255

¿Hacia qué número tiende a estabilizarse esta sucesión?, es decir, ¿cuál es su límite? > evalf(%); 0., .06122448980, .08000000000, .08875739645, .09375000000, .09695290859, .09917355372, .1008000000, .1020408163, .1030176899, .1038062284,.1044558072, .1050000000, .1054624121, .1058601134, .1062057476 Extraemos como conclusión el que parece haber límite finito. Un elemento también útil en el estudio preliminar del cálculo del límite, es la representación gráfica de la sucesión. Para ello debemos seguir el siguiente esquema: (1) Construimos la sucesión finita de puntos del plano con abscisa en valor n y ordenada el valor de lasucesión f(n). Esto lo hacemos con el comando seq visto anteriormente: b:=seq( [n,f(n)], n = inicio .. final); (2) Representamos la sucesión de puntos del plano con el comando pointplot contenido en el paquete plots pointplot( [b]); Sigamos el esquema anterior y representemos la sucesión que venimos considerando. > b:=seq([n,f(n)],n=1..16);  3   2   15   3   35   12   63   5  ,  5, , 6, ,  7, ,  8, ,  9, , b := [ 1, 0 ],  2, ,  3, ,  4,                  49   25   169   32   361   121   625   49  99   30   143   21   195   56   255    10, ,  11, ,  12, ,  13, ,  14, ,  15, ,  16,                 961   289   1369   200   1849   529   2401  > with(plots): > pointplot([b]);

Dela gráfica observamos que la sucesión parece tener límite finito.

3 Para calcular el límite de la sucesión anterior f(n), cuando n tiende a infinito, aplicamos el comando limit, con la opción n = infinity. > limit(f(n),n=infinity); 1 9

Cuidado! de este modo lo que hemos calculado es el límite funcional lim f( n ), donde n es variable real (no necesariamente entera, de hecho podemos calcularlo que vale, por ejemplo, f(3/2) ). Pero ambos límites (el de la sucesión y el funcional) no siempre coinciden, como muestra el siguiente ejemplo. El límite funcional, (n toma valores reales tendiendo a infinito): > Limit(sin(2*pi*n),n=infinity)=limit(sin(2*Pi*n),n=infinity);
n→∞ n→∞

lim sin( 2 π n ) = -1 .. 1

es oscilante en [-1,1], mientras que la sucesión correspondiente, es decir, paravalores naturales de n = 1,2,3, ..., el valor del límite es cero: > seq(sin(2*Pi*n),n=0..30); 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 y, en efecto, restringiendo n a naturales, el límite de la sucesión resulta ser cero: > assume(n,integer); > Limit(sin(2*pi*n), n=infinity)=limit(sin(2*Pi*n), n=infinity);
n~ → ∞

lim sin( 2 π n~ ) = 0

La...