Sucesiones y Series

Integrales impropias
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en
las que el intervalo de integración o la función en el integrandoo ambos presentan ciertas particularidades.
b

Una integral definida

∫ f (x ) dx se denomina impropia si:
a

El integrando f(x), tiene uno o más puntos de discontinuidad en el intervalo a ≤x ≤ b
Por lo menos uno de los límites de integración es infinito.

•
•

INTEGRANDO DISCONTINUO

Si f(x) es continua en el intervalo [a ; b ) y si lím− f (x ) = ± ∞

•

x →b

b

∫ f (x) dx =
a

lím ∫

b −ε

ε →0 + a

f (x ) dx siempre que exista el límite

Si f(x) es continua en el intervalo (a ; b] y si lím+ f ( x ) = ± ∞

•

x →a

b

∫ f (x ) dx =
a

lím ∫b

ε → 0 + a +ε

f ( x ) dx siempre que exista el límite

Si f(x) es continua para todos los valores de x en el intervalo [a ; b] excepto para x = c, siendo a

•

< c < b y si lím f ( x )= + ∞
x →c

∫

b

a

f ( x ) dx = lím+ ∫
ε →0

c −ε

a

f (x )dx + lím+ ∫
ε →0

b

c +ε

f ( x ) dx siempre que existan ambos límites

LÍMITES DE INTEGRACIÓN INFINITOS

∫+∞

∫

b

f ( x ) dx = lím

b

∫ f (x )dx si el límite existe.

•

Si f(x) es continua para toda x ≥ a , entonces

•

Si f(x) es continua para toda x ≤ b , entonces

•

Si f(x)es continua para todo x y c es cualquier número real, entonces

∫

+∞

−∞

f ( x ) dx = lím

c

a

b → +∞ a

f ( x ) dx = lím

−∞

b

∫ f (x )dx si el límite existe.

a → −∞ ab

∫ f (x )dx + lím ∫ f (x )dx si ambos límites existen.

a → −∞ a

b → +∞ c

Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en casocontrario, se dice que la integral es divergente.
EJERCICIOS:

Determinar si las siguientes integrales son divergentes o convergentes. Si son convergentes evaluarlas

∫
∫
∫

+∞

0
1

e...