Sucesiones Y Series

I. SUCESIONES.DEFINICION.

















II. NOTACION Y TERMINOS UTILIZADOS.
















III. EJEMPLOS. 1) { x n }={ n }={1,2,3,4,.....n.......}

2) { x n }={ n+n2)={2,6,12,20,...., n+n2...}

3){ a n }={n2 -n}={0,3,6,16,..., n2 -n .......}

4) { bn }={ 1 }={1 ,1, 1 , 1 ,...1 ,...........}
n 2 3 4 n

IV .OPERACIÓN CON SUCESIONES.











V. CLASIFICACION DE LAS SUCESIONES.


















VI. SUCESIONES MONOTONAS.












VII . METODOS PARA AVERIGUAR SI UNA
SUCESION ES MONOTONA.VIII .EJEMPLOS. Averiguar si las siguientes sucesiones son Monotonas.

1. [pic]

2. [pic]
3. [pic]

4. [pic]


Solución de ( 1 ) Lo haremos por los tres Métodos.

Por el Método de la diferencia
[pic]

Por el Método del Cociente.
[pic]
Por el Método de la Derivada.

[pic]
Solución de ( 2 ) [pic] Está sucesión no es Monótona.

Por el Método de la Derivada.
[pic], aplicandologaritmo
[pic]
[pic]
[pic]
Otra forma.

[pic]

Solución de ( 3 ) [pic]

Por el Método de la Derivada.
[pic]
[pic]

[pic]
es decreciente
Solución de ( 4 ) [pic]

Por el Método de la Derivada.

[pic]
[pic]
[pic]

IX . SUCESIÓN ACOTADAX .METODO PARA AVERIGUAR SI UNA SUCESION
ES ACOTADA SUPERIOMENTE.
Sea { x n } una Sucesion (inducción matemática)










XI .METODO PARA AVERIGUAR SI UNA SUCESION
ES ACOTADA INFERIORMENTE.
Sea { x n } una Sucesion (inducción matemática)











XII .EJEMPLOS . [pic] ¿es acotada ?
Solucion
[pic][pic]
[pic]
entonces {xn}es acotada superiormente
XIII .SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES.
















XIV .EJEMPLOS 5. [pic]
[pic]
[pic]


XV . ALGUNOS CRITERIOS PARA AVERIGUAR SI UNA SUCESION ES CONVERGENTE ó DIVERGENTE





















XVI . EJEMPLOS

6. [pic]es una sucesión acotada y decreciente entonces es Convergente
SOLUCION.[pic]

7. [pic] es acotada y decreciente entonces es Convergente
SOLUCION.

[pic]
[pic]

8. [pic] es acotada y creciente entonces es Convergente
SOLUCION
[pic]
[pic]
9. [pic]es acotada y decreciente entonces es convergente.
SOLUCION.
[pic]

10. [pic]es acotada y decreciente entonces es convergente.
SOLUCION.
[pic]

11. [pic] es acotada y creciente entonces es convergente.SOLUCION
[pic]


12. [pic]

Es una sucesión creciente pero no es Acotada

entonces no es Convergente

13. [pic]

Es una sucesión decreciente pero no es Acotada

entonces no es Convergente

14. [pic] es divergente.


SOLUCION

[pic]

15. [pic] es divergente.

SOLUCION.

[pic]

XVII .CRITERIO DE LA RAZON.







16. [pic]es convergente

SOLUCION.

1. La sucesionno es Monotona , utilizaremos el Criterio de la Razon
[pic]
la sucesion es convergente
17. [pic]
SOLUCION.

[pic]

18.[pic]
SOLUCION.

[pic]

XVIII .SUCESION IMPORTANTE.



















19.[pic][pic]
20. [pic]
[pic]
21. [pic] [pic]

22[pic][pic]

23. [pic] , no hay información por que r =-1

XIX .TEOREMAS SOBRE SUBSUCESIONES.

1°) Sí una sucesiónconverge a L,
ENTONCES toda sub-suceción converge a L

2°) Sean DOS sub-suceciónes que convergen a L y M .
Sí L ( M ENTONCES la sucesión Diverge

24. [pic] , la sucesión Diverge
SOLUCION.
[pic]
25. [pic] ,
SOLUCION.
[pic]
XX .OPERACIÓN CON LIMITE . { x n },{ y n } , Sucesiones.














XXI .EJEMPLOS....