Sucesión de Fibonacci

Sucesión de Fibonacci


Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta 
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Estasucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones enciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo deun cono.
Índice
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1 Historia
2 Definición recursiva
3 Representaciones alternativas
3.1 Función generadora
3.2 Fórmula explícita
3.3 Forma matricial
4 Propiedades de la sucesión
5 Generalización
5.1 Sucesión de Lucas
6 Algoritmos de cálculo
7 La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
8 Dígitos en la sucesión de Fibonacci
9 Véase también
10 Referencias
11 Bibliografía12 Enlaces externos
Historia[editar]
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".1

Número de MesExplicación de la genealogía
Parejas de conejos totales
Comienzo del mes 1
Nace una pareja de conejos (pareja A).
1 pareja en total.
Fin del mes 1
La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.
1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2
La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.
1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3
La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja Bcumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.
2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4
Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.
3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5
A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.
5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6
A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen unmes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.
8+5=13 parejas en total.
...
...
...
Fin del mes 12
...
...
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertaspor Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.2
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos  se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de ordendos tiende al mismo límite. Esta sucesión ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Definición recursiva[editar]


Chimenea con la sucesión de Fibonacci
Losnúmeros de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:
(3)
partiendo de dos primeros valores predeterminados:


se obtienen los siguientes números:






para 
Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.
Representaciones alternativas[editar]
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente...