Sumas De Un Irracional Con Un Racional

SUMA DE UN RACIONAL CON UN IRRACIONAL ES IRRACIONAL
Hay que demostrarlo.
Sea x un número racional y z un número irracional.
Afirmación: x + z es irracional.
Primero observa que por ser x unnúmero racional se tiene que -x es también un número racional. Supongamos para fines de contradicción que x + z es racional, luego como la suma de dos racionales es racional se tiene que (x+z) + (-x) esracional. Pero (x+z) + (-x) = z, luego z es racional.
Esto contradice la hipótesis de que z es irracional.
Luego la suma de un racional y un irracional es irracional.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La suma de un número racional más uno irracional, ¿es igual a un número racional o irracional?
Esirracional. En efecto, razonemos por reducción al absurdo. Sean a∈ℚ, b∈ℝ\ℚ, p∈ℤ y q∈ℤ+; si a+b = p/q, entonces b = p/q - a, por lo que b sería racional.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente:
El conjunto formado por losnúmeros primos es infinito. |
Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.[1] Una adaptación común de esta demostraciónoriginal sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ··· pn+1. Este número es obviamente mayorque 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, escompuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es...