sumatoria

SUMATORIAS

INTRODUCCIÓN

Érase una vez un niño alemán llamado Carl F.
Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la
escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban
mal, le puso un problema matemático al pequeño
Carl y a sus compañeros.

Los niños debían sumar todos los números del
1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5+…+98+99+100

El profesor se sentó en su silla a leer el periódico,confiaba en que tendría horas hasta que los niños
sumaran todos los números. Sin embargo, el
pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir
hacia el profesor y darle el resultado: 5050.

¿Cómo lo había hecho?

Gauss tenía que sumar lo siguiente:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando
siemprelos simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir:

1 +100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
5 + 96 = 101
...
46 + 55 = 101
47 + 54 = 101
48 + 53 = 101
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101

50 veces 101, es decir 50x101= 5050

De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros
números.
𝑛

𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 =
𝑖=1

𝑛 𝑛+1
2

Conociendo estafórmula podremos resolver el problema planteado a
Gauss, que fue de sumar los 100 primero números.
100

𝑖=1
100

100 100 + 1
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 =
2
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 50(101)

𝑖=1
100

𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 5050
𝑖=1

DEFINICIÓN

La sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de
números, el resultado es la suma total.
NOTACIÓN
Índicesuperior

𝑛

𝒕 𝟏 + 𝒕 𝟐 + 𝒕 𝟑 +…+𝒕 𝒏 =

𝑡𝑖

Término general

𝑖=𝑎
sigma

Índice inferior

 PROPIEDADES

P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria
es igual al índice superior menos el índice inferior mas la
unidad.

𝑛

𝑡 𝑖=

𝒏−𝒂 +𝟏=𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

𝑖=𝑎

Ejemplo:
Hallar el número de términos de la siguiente expresión:

45

𝑖=
𝑖=5

45−5 +1=41𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del
número de sumandos por la constante.

𝑛

𝑘 = [ 𝑛 − 𝑎 + 1]. 𝑘
𝑖=𝑎

Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

45

4=
𝑖=5

45 − 5 + 1 . 4 = 164

P3. La sumatoria en el que el término general es una suma
algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias
independientes.

𝑛

𝑛

𝑛

(𝑘𝑖 2 + 𝑘 ´ 𝑖) =
𝑖=𝑎

𝑘𝑖 2 +
𝑖=𝑎𝑘´ 𝑖
𝑖=𝑎

Donde: k y k´ son constantes.

Ejemplo:
𝑛

𝑛

(2𝑖 2 + 3𝑖) =
𝑖=𝑎

𝑛

2𝑖 2 +
𝑖=𝑎

3𝑖
𝑖=𝑎

P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede
descomponerse de ésta manera:

𝑛

𝑛

𝑡𝑖 =
𝑖=𝑎

𝑎−1

𝑡𝑖 −
𝑖=1

𝑡𝑖
𝑖=1

Donde: a ≠ 𝟏

Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

11

11

𝑖=
𝑖=5

4

𝑖−
𝑖=1

𝑖
𝑖=1

SUMATORIAS
NOTABLES

 Los n primeros números naturales
𝑛

𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 =
𝑖=1

𝑛 𝑛+1
2

 Los n primeros números pares naturales
𝑛

2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 + ⋯ + 𝟐𝒏 = 𝑛 𝑛 + 1
𝑖=1

Demostración:
𝑛

2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 + ⋯ + 𝟐𝒏
𝑖=1
𝑛

2𝑖 = 2(1+ 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝒏)

Factorización

𝑖=1
𝑛

𝑖=1
𝑛

n(n+1)
2𝑖 = 2 [
]
2
2𝑖 = 𝑛 𝑛 + 1

𝑖=1

SN primeros N

Los n primeros números impares naturales.
𝑛

(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
𝑖=1

Demostración:
𝑛

𝑛

2𝑖 − 1 =
𝑖=1
𝑛

𝑛

2𝑖 −
𝑖=1

1

P3:

𝑖=1

2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 −

𝑛 − 1 + 1 1]

SN #pares y P2:

2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 −

𝑛 − 1 + 1 1]

simplificación

𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1

2𝑖 − 1 = [𝑛2 + 𝑛 − 𝑛 ]
𝑖=1
𝑛

2𝑖 − 1 = 𝑛2
𝑖=1

 Los n primeros númeroscuadrados perfectos

𝑛

𝑖 2 = 12 +22 +32 +42+ ⋯ + 𝑛2 =
𝑖=1

𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6

 Los n primeros números cubos perfectos.
𝑛

𝑖3

=

13 +23+33 +43 + ⋯ +

𝑛3

𝑖=1

𝑛 𝑛+1 2
=[
]
2

 Los n primeros números cuartos perfectos.
𝑛

𝑖=1

𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)(3𝑛2 + 3𝑛 − 1)
𝑖 4 = 14 +24 +34 +44 + ⋯ + 𝑛4 =
30

 Los n primeras potencias.
𝑛

𝑎𝑖
𝑖=1...