sumatoria

´ BELLO
UNIVERSIDAD ANDRES
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALC ELEMENTAL - FMM 032
GUIA NUMEROS NATURALES
1. Hallar la suma indicada.
7

(a)

4

(2i + 1)

(b)

i=1
5

(c)
j=3

i=0

(d)
16

(i − 2)3

(f)

i=1

i=5

20

14
2

[(i + 1) − 2i]
i=6

(h)

(i + 1)(i − 3)
i=2

2. Usar notaci´on de sumatoria para escribir la suma dada.
(a)

1
1
1
1
+
+
+ ··· +
3·1 3·2 3·3
3·9

(b)5
5
5
5
+
+
+ ··· +
1+1 1+2 1+3
1 + 15

(c)

1
2
2 +3 + 2 +3
8
8

(d)

1−

(e)

12
+2
6

1
6

+ ··· +

62
+2
6

1
6

(f)

12
+2
n

1
n

+ ··· +

n2
+2
n

1
n

22
12
+ 1−
4
4

c
i=1

4(i − 1)(2i + 1)

(g)

1
+1

18

1
j

12

(e)

i1

8
+ ··· + 2 + 3
8
+ ··· + 1 −

82
4

(g)

23 2
−
n
n

(h)

1−

(i)

2 1+

3
n

(j)

1
n

1−

2
n

2
−1
n

+ ··· +
2

2

2
n
3
n

0
n

2n 3 2n
−
n
n

+ ··· + 1 −

+ ···+ 2 1 +

2

+ ··· +

1
n

2
n
2

2n
−1
n
3n
n

1−

2

2
n

3
n

n−1
n

2

3. Mediante inducci´on matem´atica, pruebe cada una de las siguientes proposiciones:
(a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1)
5n(n + 1)
(b) 5 + 10 + 15 + · · · + 5n =
2
2 (n + 1)2
n
(c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
4
(d) 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1)
n(n + 1)(n + 2)
3
n(n + 1)(2n + 7)
1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + n(n+ 2) =
6
1
1
1
n
+
+ ··· +
=
1·2 2·3
n · (n + 1)
n+1
1
2
n
n(n + 1)
+
+ ··· +
=
2·3·4 3·4·5
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4(n + 2)(n + 3)
1
1
n
1
+
+ ··· + 2
=
3 15
4n − 1
2n + 1
(2n − 1)3n + 1
1 + 2 · 3 + 3 · 32 + 4 · 33 + · · · + n · 3n−1 =
4
3
5n + 7n es divisible por 3

(e) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)

(l) 3n ≥ 2n + 1
(m) 2n ≤ 2n
(n) n2 > 2n + 1 , para n ≥ 3
(o)n3 + 2n es divisible por 3
(p) (n(n + 1))2 es divisible por 4
(q) n4 + 2n3 + n2 es divisible por 4
(r) n3 + 11n es divisible por 6
(s) n3 + 5n es divisible por 3
(t) n3 − n es divisible por 5
(u) 6n − 5n + 4 es divisible por 5

4. Demuestre utilizando inducci´on matem´atica las siguientes proposiciones:
n

(a)

i=
i=1
n

n(n + 1)
2

i2 =

(b)
i=1
n

(c)
i=1
n

(d)
i=1
n

n(n + 1)(2n + 1)
6

i(i +1)
n(n + 1)(n + 2)
=
2
6
1
= 1 − 2−n
2i
(2i − 1)2 =

(e)
i=1
n

5i−1 =

(f)
i=1
n

n(2n − 1)(2n + 1)
3

5n − 1
4

(2i − 1)3 = n2 (2n2 − 1)

(g)
i=1
n

i5i =

(h)
i=1
n

(i)

5 + (4n − 1)5n+1
16

(2i − 1)(2i) =
i=1
n

(j)
i=1
n

(k)
i=1

n(n + 1)(4n − 1)
3

n
1
=
i(i + 1)
n+1
1
n
=
(2i − 1)(2i + 1)
2n + 1

5. Demuestre que xn − y n es divisible por x − y.
6. Demuestre que x2n−1 + y 2n−1 esdivisible por x + y.
7. Demuestre que los n´
umeros de la forma:
(a) 32n − 1 son divisibles por 8
(b) 24n − 1 son divisibles por 15
(c) 4n − 1 son divisibles por 3
8. Observe que
1
2

= 2−

1
2

1 1
+
2 4

= 2−

1
4

1 1 1
+ +
2 4 8

= 2−

1
8

1+
1+
1+

deduzca la ley general y demu´estrela por inducci´on.

9. Observe que
1
2

=

1
2

1
1
(1 − )(1 − ) =
2
3

1
3

1
1
1
(1 − )(1 − )(1 − ) =
2
3
4

1
41−

deduzca la ley general y demu´estrela por inducci´on.
10. Encuentre una f´ormula para el producto:
1
1
1
1
p(n) = (1 − )(1 − )(1 − ) · · · (1 −
)
2
3
4
n+1
y demu´estrela por inducci´on.
11. Sean a y r dos n´
umeros reales fijos tales que r = 1. Demostrar que la suma de los primeros n t´erminos
rn − 1
de la progresi´on geom´etrica a, ar, ar2 , ar3 , . . . , es a
r−n
12. Si c ∈ R , demuestreque

n
i=1

c ai = c

n
i=1

ai .

13. Si los t´erminos tercero y s´eptimo de una P.A. son 18 y 30 respectivamente. Encuentre el d´ecimo.
14. ¿Qu´e t´ermino de la sucesi´on 5,14,23,32 es 239?
15. Determine el valor de x tal que (20 − x); (x + 12); (2x + 9) sea una P.A.
16. ¿Cu´antos t´erminos de la sucesi´on 9,12,15 es necesario considerar de modo que su suma sea 306?
17. Una compa˜
n´ıamanufacturera instala una m´aquina a un costo de U$1.500 Al cabo de 9 a˜
nos, la m´aquina
tiene un valor de U$420. Suponiendo que la depreciaci´on anual es constante. Calcule la depreciaci´on
anual.
18. Los pagos mensuales que una persona hace al banco ocasionados por un pr´estamo forman una P.A.
Si el octavo y d´ecimo quinto pago son de $15.300 y $18.100, respectivamente. ¿Cu´al ser´a su vig´esimo
pago?...