sumatorias

An´lisis Exploratorio de Datos
a

1.

Grado en Estad´
ıstica y Empresa - 2012/2013

MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.

El sumatorio (o sumatoria) es un operador matem´tico, representado por la letra griega sigma
a
may´scula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un
u
n´mero indeterminado (representado por alguna letra) de ellos,o incluso con infinitos sumandos.
u
Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .)
cuyos valores dependen de un ´
ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ´
ındice
empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en
una unidad hasta llegar al valor que aparece en laparte superior del sumatorio. As´ por ejemplo,
ı
3

xi = x1 + x2 + x3
i=1

representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general,
n

xi = x1 + x2 + . . . + xn−1 + xn
i=1

representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresi´n anterior se lee: “sumatorio
o
de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.
El ´
ındice del sumatoriopuede tomar cualquier conjunto de n´meros enteros, es decir, no tiene poru
qu´ empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuaci´n casi siempre sea as´ para
e
o
ı
simplificar la notaci´n). La unica condici´n que se tiene que cumplir es que el primer valor del ´
o
´
o
ındice,
el que aparece abajo, sea menor o igual que el ultimo valor del ´
´
ındice, el que aparecearriba. Es decir,
en la suma n xi k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera
i=k
mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estar´
ıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a
3, es decir, no estar´
ıamos sumando nada, y la suma ser´ igual a cero. Si queremos sumar los valores
ıa
de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer 5 xi.
i=3

1.1.

Propiedades.

El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple
todas las propiedades de ´sta:
e
Propiedad conmutativa:
n

(xi + yi ) = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn
i=1
n

(yi + xi )

= y 1 + x1 + y 2 + x2 + . . . + y n + xn =
i=1

Propiedad asociativa:
n

n

zi = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn + z1+ z2 + . . . + zn

(xi + yi ) +
i=1

i=1

(xi + yi + zi )

(yi + zi ) =

xi +
i=1

n

n

n

= x1 + x2 + . . . + xn + y1 + z1 + y2 + z2 + . . . + yn + zn =

i=1

i=1

1

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Propiedad distributiva:

n

a·

i=1

xi = a · (x1 + x2 + . . . + xn )
n

(axi ),

= ax1 + ax2 + . . .+ axn =
i=1

a∈R

Otras propiedades:
1. El sumatorio de una constante (no depende de ning´n ´
u ındice) es igual a la constante multiplicada por el n´mero de sumandos:
u
n

n veces

b =b + b + . . . + b= nb,
i=1

b∈R

2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):
xi + nb,
i=1

i=1

i=1

i=1

b=a

axi +

(axi + b) =

n

n

n

n

a, b ∈ R

Nota:¡¡¡a · n xi + nb = a · n (xi + nb)!!! En un sumatorio, los sumandos vienen
i=1
i=1
indicados por el primer s´
ımbolo despu´s de Σ. Si cada sumando involucra m´s de un t´rmino,
e
a
e
tendremos que escribir la expresi´n del sumando entre par´ntesis. Por ejemplo:
o
e
3

i2 + 5 = 12 + 22 + 32 + 5 = 1 + 4 + 9 + 5 = 19,
i=1

mientras que
3

(i2 + 5) = 12 + 5 + 22 + 5 + 32 + 5 = 1 + 5 +4 + 5 + 9 + 5 = 29.
i=1

3. Los valores recorridos por el ´
ındice se pueden separar en varios sumatorios:
n0

n

n

xi +

xi =
i=1

i=1

xi ,
i=n0 +1

n0 ≤ n

En efecto:
x1 + x2 + ... + xn = (x1 + x2 + ... + xn0 ) + (xn0 +1 + . . . xn )
Por ejemplo:
4

log(i) = log(1) + log(2) + log(3) + log(4) = (log(1) + log(2)) + (log(3) + log(4))
i=1
4

2

log(i)...