superficies cuadricas

SUPERFICIES CUÁDRICAS
Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas.
Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 con A , B, C no todos nulos.
Existen 6 superficies cuádricas básicas las cuales son:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Elipsoide
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de doshojas
cono elíptico
paraboloide elíptico
paraboloide hiperbólico (silla de montar)

OBSERVACION:
La intersección de una superficie con un plano se llama traza de la superficie con ese plano. En
particular, las trazas de las superficies con los planos coordenados se obtienen haciendo
x = 0 (traza con el plano yz), y = 0 (traza con el plano xz) y z = 0 (traza con el plano xy).
Para el estudiode estas superficies cuádricas utilizaremos la ecuación canónica de cada una de
ellas.

1) Elipsoide:

x2 y 2 z 2
+ + =1
a 2 b2 c 2

con a, b, c > 0

Observemos que las 3 trazas de esta superficie con los 3 planos coordenados son elipses (o
circunferencias).
Ejemplo 1:
x2 y 2 z 2
Graficar
+ + =1
9 49 16
De la ecuación podemos ver que la parte mayor del elipsoide irá sobre el ejeY.

2) Hiperboloide de una hoja

x2 y2 z2
+
− =1
a2 b2 c2
Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma

Hiperboloide de una hoja
eje del hiperboloide corresponde a la
variable cuyo coeficiente es negativo

Para identificar el hiperboloide de una hoja lo hacemos mediante las trazas con los planos
coordenados: Son 2 hipérbolas y una elipse (la “cintura” delhiperboloide)
Para graficar esta superficie cuádrica utilizaremos tres elementos básicos
a) Identificar el eje del hiperboloide
b) Encontrar las trazas con planos perpendiculares al eje del hiperboloide y graficar estas
trazas en el espacio
c) Unir estos cortes con hipérbolas (preferentemente las hipérbolas ubicadas en planos
coordenados)
x2 y2
Ejemplo 2 : Graficar
+ − z2 = 1
4
5
Solución
a )Identificamos que el eje del hiperboloide es el eje z
b ) Hacemos cortes perpendiculares al eje z (paralelos al plano xy) : Escogemos cortes, por
ejemplo, en z = 2, z = 0, z = −2

Si

z = 2 , entonces
x2 y 2
+ − (2) 2 = 1
4
5
2
x
y2
+
=5
4
5
x2 y2
+
=1
20 25

Si z = −2 , notemos que nos da el mismo resultado anterior, es decir una elipse
Si z = 0 ,

x2 y2
+
= 1 , esotra elipse ( en el plano xy)
4
5

x2 y2
+
=1
20 25

c)

3) Hiperboloide de dos hojas

Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma

z 2 x2 y 2
− 2 − 2 =1
2
c
a
b
Hiperboloide de dos hojas
eje del hiperboloide corresponde a la
variable cuyo coeficiente es positivo

Para identificar el hiperboloide de dos hojas lo hacemos mediante las trazas con los planoscoordenados: Dos hipérbolas y no existe traza con el plano coordenado perpendicular al
eje del hiperboloide.
Para graficar esta superficie cuádrica utilizaremos cuatro elementos básicos
a) Identificar el eje del hiperboloide
b) Identificar los vértices del hiperboloide de dos hojas
c) Encontrar las trazas con planos perpendiculares al eje del hiperboloide y graficar estas
trazas en elespacio
d) Unir estos cortes con hipérbolas (preferentemente las hipérbolas ubicadas en planos
coordenados)
Ejemplo 3: Graficar

y2 x2 z 2
− − =1
2
4 9

Solución
y2 x2 z2
− − =1
c 2 a 2 b2
a) El eje del hiperboloide es el eje y .
b) Los vértices del hiperboloide se ubican en su eje, y vienen dados por la raíz cuadrada del
denominador del término positivo. Para este caso c = ± 2
c )Hacer cortes perpendiculares al eje del hiperboloide, por ejemplo en y = ±3

Este hiperboloide es de la forma

(±3) 2 x 2 z 2
− − =1
2
4 9
2
2
x
z
+ = 3.5
ó
4 9

x2
z2
+
=1
14 31.5

d) Graficar, uniendo estos cortes con hipérbolas

4) Cono Elíptico
Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma:
x2 y 2 z 2
x2 y2 z2
+ 2 − 2 =0 ó
+
=
a2 b
c
a2 b2 c2
-...