Técnicas integración

UNIDAD II
Técnicas de Integración

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Solución:

UNIDAD II

ܵ݁ܽ: ‫ ݔ = ݑ‬ଶ ⟹ ݀‫⟹ ݔ݀ݔ2 = ݑ‬
Sustituyendo:

TECNICAS DE INTEGRACIÓN
Es común encontrar que muchas integrales no
obedecena una integración inmediata, por lo tanto
tenemos que valernos de ciertos artificios para lograr
reducirlas. El presente capítulo muestra algunas
técnicas utilizadas para ello.

1. Sustituciónpor cambio de variable
‫݅ݏ‬

‫)ݐ(݃ = ݔ‬

Donde t es una variable y ݃ una función continua
diferenciable, tendremos:
න ݂(‫ = ݔ݀)ݔ‬න ݂ሾ݃(‫)ݐ‬ሿ݃′(‫ݐ݀)ݐ‬

La función ݃(‫)ݐ‬se procura elegir de talmanera que el
segundo miembro de la ecuación anterior tome una
forma más adecuada para la integración.

න

‫ݔ݀ݔ‬

√1 +

‫ݔ‬ସ

݀‫ݑ‬
= ‫ݔ݀ݔ‬
2

1
݀‫ݑ‬
݀‫ = ݔ‬න
2 √1 + ‫ݑ‬ଶ

1
݈݊ ቀ‫+ ݑ‬ඥ1 + ‫ݑ‬ଶ ቁ + ‫ܥ‬
2
1
= ݈݊ ቀ‫ ݔ‬ଶ + ඥ1 + ‫ ݔ‬ସ ቁ + ‫ܥ‬
2
=

2. Sustitución trigonométrica
Para casos en que la integral está bajo el signo radical
es
conveniente
realizar
lassustituciones
trigonométricas:
ܲܽ‫ ܽݎ‬ඥܽଶ + ‫ݑ‬ଶ ,

ℎܽ݃ܽ

‫ ܽ = ݑ‬tan ‫ݖ‬

ܲܽ‫ ܽݎ‬ඥ‫ݑ‬ଶ − ܽଶ ,

ℎܽ݃ܽ

‫ ܽ = ݑ‬sec ‫ݖ‬

ܲܽ‫ ܽݎ‬ඥܽଶ − ‫ݑ‬ଶ ,

ℎܽ݃ܽ

‫ ܽ = ݑ‬sen ‫ݖ‬

Ejemplo 3.Halle
Ejemplo1.Halle
න ‫ݔ݀1 − ݔ√ݔ‬

න
Solución:

Solución:

ܵ݁ܽ: ‫ = ݔ‬tan ‫ = ݔ݀ ⟹ ݖ‬sec ଶ ‫ݖ݀ ݖ‬

El objetivo aquí es tratar de eliminar el radical, por lo
tanto, si hacemos
‫ ݐ = 1 − ݔ‬ଶ ⟹ ‫1 − ݔ√= ݐ‬

ඥ‫ ݔ‬ଶ + 1

‫ ݐ = ݔ‬ଶ − 1 ⟹ ݀‫ݐ݀ݐ2 = ݔ‬

x

z

න ‫ = ݔ݀1 − ݔ√ݔ‬න(‫ ݐ‬ଶ − 1) ∙ ‫ݐ݀ݐ2 ∙ ݐ‬

= 2 න(‫ݐ − ݐ‬
ସ

ଶ )݀‫ݐ‬

‫ݐ‬ହ ‫ݐ‬ଷ
= 2ቆ − ቇ +‫ܥ‬
5
3

2
ఱ
2
య
= (‫)1 − ݔ‬మ −(‫)1 − ݔ‬మ + ‫ܥ‬
3
5

Ejemplo 2. Hallar
න

‫ݔ݀ݔ‬

√1 + ‫ ݔ‬ସ

sen ‫= ݖ‬
cos ‫= ݖ‬

‫ݔ‬

√‫ ݔ‬ଶ + 1
1

√‫ ݔ‬ଶ + 1
tan ‫ݔ = ݖ‬

Sustituyendo:

= න(‫ ݐ‬ଶ − 1) ∙ ‫ݐ݀ݐ2 ∙ ݐ‬

√‫ݔ‬ଶ + 1
݀‫ݔ‬
‫ݔ‬ଶ

1

Sustituyendo:
න

√‫ ݔ‬ଶ + 1
√tanଶ ‫1 + ݖ‬
݀‫ = ݔ‬න
sec ଶ ‫ݖ݀ ݖ‬
ଶ
‫ݔ‬
tanଶ ‫ݖ‬
=න

=න
=න

sec ‫ ݖ‬sec ଶ ‫ݖ‬
݀‫ݖ‬
tanଶ ‫ݖ‬

cos ଶ ‫ݖ‬
݀‫ݖ‬
cos z cos ଶ...