T2

MATEMÀTIQUES
1r Batxillertat CS

Unitat 2: Àlgebra

UNITAT 2: ÀLGEBRA
1. DIVISIÓ DE POLINOMIS
El quocient d'un monomi per un altre monomi de grau inferior és un nou monomi el
grau del qual és la diferència dels graus dels monomis que es divideixen.

P( x) = 21x 4
Q( x) = 2 x

Per fer la divisió entre dos polinomis, després de comprovar que el grau del
P(X)>Q(X), cal seguir els passos següents:
1.En el dividend, deixem els espais corresponents per als termes que hi falten.
2. Dividim el monomi de grau més gran del dividend pel monomi de major grau del
divisor.
3. El producte d'aquest primer terme del quocient pel divisor es col·loca, amb el
signe contrari, a sota del dividend i es suma.

P( x) = 3 x 4 + 4 x 3 − 2 x + 3
 P( x) : Q( x)

Q( x) = x 2 − 3 x + 2

P( x) = 3 x 4 + 4 x 3 − 2x + 3
 P( x) : Q( x)

Q( x) = x 5

1.1. DIVISIÓ D'UN POLINOMI PER x-a. REGLA DE RUFFINI
La regla de Ruffini serveix per dividir un polinomi x-a d'una forma més ràpida.

P ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − x + 4
 P( x) : Q( x)
Q( x) = x + 2


-1-

MATEMÀTIQUES
1r Batxillertat CS

Unitat 2: Àlgebra

Teorema del residu
El valor numèric P(a) d'un polinomi P(x) és el nombre que s'obté en substituir la xper
a i fer les operacions corresponents.
El valor numèric P(a) d'un polinomi coincideix amb el residu de la divisió P(x):(x-a).
Així doncs, tal com indica el teorema del residu: P(a)=r

P( x) = 6 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 46
Q( x) = x + 2

Un nombre a serà arrel del polinomi si en fer la divisió d'aquest polinomi per (x-a)
aquesta és exacta, és a dir, si P(a)=0.

P ( x) = 6 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 46
Q(x) = x − 2

Si un polinomi té coeficients enters, les seves arrels són divisors del terme
independent.
2. FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS
Factoritzar un polinomi és descompondre'l en un producte de polinomis (factors)
del grau més petit possible.
2.1. ARRELS D'UN POLINOMI
Acabem de veure que un nombre a serà arrel del polinomi si en fer la divisió d'aquest
polinomi per (x-a) aquesta és exacta, és a dir,si P(a)=0. Així doncs, les arrels d'un
polinomi P(x) són les solucions a l'equació P(x)=0.
2.2. PROCEDIMENT PER FACTORITZAR UN POLINOMI
La factorització de polinomis es realitza seguint diferents procediments en funció del
tipus de polinomi a factoritzar.
Identificació d’identitats notables
Molts polinomis són el desenvolupament d’una de les tres identitats notables.
•

x2-6x+9= (x-3)2

•x4+2x2+1= (x2+1)2

•

x2-25 = (x+5)(x-5)

-2-

MATEMÀTIQUES
1r Batxillertat CS

Unitat 2: Àlgebra

Factorització de polinomis de segon grau.
Cal recordar que les arrels d’un polinomi de segon grau són les solucions a
l’equació de segon grau.
•

P(x) = 2x2-5x-3

Factorització de polinomis de grau superior a 2.
-

Resolució de l’equació biquadrada
•

-

-

Q(x)= x4-25x2+144 .

Extracció de factor comú xi resolució de l’equació de segon grau resultant
•

P(x) = 2x3+3x2+2x

•

T(x) = x6-81x2

Aplicar Ruffini
•

R(x)= x3-7x-6

-3-

MATEMÀTIQUES
1r Batxillertat CS

Unitat 2: Àlgebra

3. EQUACIONS I SISTEMES D'EQUACIONS
3.1. EQUACIONS
Equacions de segon grau i biquadrades

x 4 − 10 x 2 + 9 = 0

Equacions irracionals o amb radicals
Els passos a seguir són:
1. Aïllar l'arrel quadrada a un membre de laigualtat.
2. Elevar tots dos membres al quadrat.
3. Ordenar i resoldre l'equació resultant.
En aquest procés poden aparèixer solucions falses, així doncs, és imprescindible
comprovar les solucions obtingudes.

2x − 3 +1 = x

2x − 3 + x + 7 = 4

-4-

MATEMÀTIQUES
1r Batxillertat CS

Unitat 2: Àlgebra

Equacions amb les x en el denominador
Els denominadors algebraics es suprimeixen multiplicantpel producte de tots aquests,
és a dir, pel mínim comú múltiple.
També poden aparèixer solucions falses, així doncs, torna a ser imprescindible fer la
comprovació.

6 x +1
+
=6
x x−2

Equacions exponencials
Les equacions exponencials són aquelles en les quals la incògnita està en
l'exponent.
El procediment per resoldre-les és diferent segons la seva tipologia.
-

Expressar tots els membres com a...