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1.

APLICACIONES LINEALES

El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u
homomorfismos entre espacios vectoriales. Este tipo de aplicaciones respeta
la estructura de espacio vectorial transformando subespacios vectoriales en
subespacios vectoriales.

1.1.

PRIMERAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Definición 1. (Aplicación lineal)
Dada una aplicación f : V → V con V, VK-espacios vectoriales, decimos que f es lineal si satisface las condiciones:
i) f (u + v) = f (u) + f (v) ∀u, v ∈ V .
ii) f (au) = af (u) ∀a ∈ K y ∀u ∈ V .
Estas dos condiciones se pueden resumir en una escribiendo:
iii) f (au + bv) = af (u) + bf (v) ∀u, v ∈ V y ∀a, b ∈ K.
A las aplicaciones lineales también se les llama homomorfismos de espacios vectoriales.
Propiedades.
Dada f : V → V unaaplicación lineal, entonces:
1. f (¯0) = ¯0,
2. f (−u) = −f (u),
3. f (a1 u1 + · · · + am um ) =
a1 f (u1 ) + · · · + am f (um ).
Consecuencia de esta última propiedad es que una aplicación lineal f :
V → V queda determinada con sólo conocer las imágenes de los vectores de
una base de V .
Definición 2. (Núcleo e imagen de una aplicación lineal)
Dada una aplicación lineal f : V → V , se define el núcleode f , Ker(f ),
como el conjunto
Ker(f ) = {v ∈ V tal que f (v) = ¯0}
Llamamos imagen de f , Im(f ), al conjunto
Im(f ) = {f (v) tal que v ∈ V } = f (V )
Propiedades.
1. El conjunto Ker(f ) es un subespacio vectorial de V .
2. Si W es subespacio vectorial de V , W = L({v1 , . . . , vm }), entonces
f (W ) = L({f (v1 ), . . . , f (vm )}. Se desprende de esto que f (W ) es un
subespacio vectorial deV . En particular, para W = V se tiene que
Im(f ) = f (V ) es subespacio vectorial de V . Llamaremos rango de la
aplicación lineal f a la dimensión de la imagen, r(f ) = dim(Im(f )).

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1 APLICACIONES LINEALES

1.2.

MONOMORFISMOS, EPIMORFISMOS E
ISOMORFISMOS

Definición 3. (Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos)
i) Una aplicación f : A → B es inyectiva si ∀a1 , a2 ∈ A, con a1 = a2 ,entonces f (a1 ) = f (a2 ).
ii) Una aplicación f : A → B es sobreyectiva si ∀b ∈ B existe a ∈ A tal
que f (a) = b o, equivalentemente, si f (A) = B.
iii) Una aplicación f : A → B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a
la vez.
iv) Las aplicaciones lineales inyectivas se denominan monomorfismos, las
sobreyectivas, epimorfismos, y las biyectivas, isomorfismos.
v) Decimos que un espacio vectorial Ves isomorfo a otro V (V
existe un isomorfismo f : V → V .

V ) si

vi) Una aplicación lineal f : V → V , definida de un espacio vectorial en sí
mismo, se denomina endomorfismo. De ser isomorfismo, la llamamos
automorfismo.
Propiedades. Sea f : V → V una aplicación lineal. Se verifica:
1. f es un monomorfismo si y sólo si Ker(f ) = {¯0} (dim(Ker(f )) = 0).
2. f es un epimorfismo si y sólo si Im(f )= V (r(f ) = dim(V )).
3. f es un monomorfismo si y sólo si para todo conjunto de vectores l.i.
de V , {v1 , . . . , vm }, se tiene que {f (v1 ), . . . , f (vm )} también es l.i..
4. f es un epimorfismo si y sólo si para todo sistema de generadores de V ,
{v1 , . . . , vm }, se tiene que {f (v1 ), . . . , f (vm )} es sistema de generadores
de V .
5. f es un isomorfismo si y sólo si para toda basede V , {v1 , . . . , vn }, se
tiene que {f (v1 ), . . . , f (vn )} es base de V .
6. Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y sea S = {f (v1 ), . . . , f (vn )}.
Entonces f es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo si y sólo
si S es l.i., sistema de generadores de V o base de V respectivamente.
Teorema 1. Dos espacios vectoriales de dimensión finita V y V son isomorfos si y sólo si dim(V ) =dim(V ). En particular, cualquier K-espacio
vectorial V de dimensión n es isomorfo a Kn .

1.3.

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES. CAMBIO
DE BASE

Consideremos una aplicación lineal f : V → V , con V y V K-espacios
vectoriales de dimensión finita. Fijemos dos bases B = {e1 , . . . , en } de V y
B = {e1 , . . . , em } de V .

1.3 MATRICES Y APLICACIONES LINEALES. CAMBIO DE BASE 3
Consideremos...