T6 Sistemas de ecuaciones 1 bachiller

TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo:

ax+by = c
donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números conocidos.
Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores (x,y) que hacen cierta la igualdad.
Ejercicios
1. Encuentra cuatro soluciones de la ecuación 2x + y= 5

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta.
Ejercicios
2. Representa gráficamente las soluciones del ejercicio anterior.

3. Representa las soluciones de esta ecuación. -3x + y = 2

SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
Es un conjunto de dos o más ecuaciones como las anteriores. La solución de un sistema de este tipo es una pareja denúmeros que cumpla las dos ecuaciones.
Ejercicio.
4. Indica cuál de estas parejas de números es solución del sistema
(3 , 2) (3 , 4 ) (5 , 1) (2 , 3)

2 x  3 y  13

x  y  1 

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
Método gráfico. Consiste en representar las soluciones de las dos ecuaciones en unos mismos ejes y tomar como solución
el punto de corte de las dos rectas.
Para calcular las soluciones de cadauna, despejaremos la Y y haremos una tabla de valores.
Pueden darse los siguientes casos:

SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO

SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO

SISTEMA INCOMPATIBLE

Ejercicio.
5. Resuelve el sistema por el método gráfico.

2 x  y  3

x y 3 

Para resolver por los siguientes métodos hemos de reducir cada ecuación a su forma general

ax + by = c
Método de sustitución. Consiste endespejar una incógnita (la que queramos) de una de las ecuaciones (de la que
queramos) y sustituir el despeje en la otra ecuación.
Ejercicios.
6. Resuelve por el método de sustitución

3x  y   x  3  2 y 

x y 5

 

2 3 6


7. María y su hija Sara tienen en la actualidad 56 años entre las dos. Si dentro de 18 años Sará tendrá 5 años
más que la mitad de la edad de su madre, ¿qué edadtiene actualmente cada una?

Método de igualación. Consiste en despejar la misma incógnita (la que queramos) de las dos ecuaciones e igualar los
resultados.
Ejercicios.

x y 1 5

 
6
3
6
8. Resuelve el sistema

y 29 
5x  
4
2 

9. Rosa y Juan deciden hacerle un regalo a su madre. El regalo cuesta 2 400 €. Juntan sus ahorros: Rosa tiene 100
€ más del doble de lo que tiene Juan y como aúnles faltan 200 €, se los da su padre. ¿Cuánto dinero tiene cada
uno?

Método de reducción. Consiste en manipular de forma conveniente a las ecuaciones, multiplicándolas por números
convenientes, con el fin de que al sumarlas se cancele alguna incógnita y obtener así la otra de una forma sencilla.
Ejercicios.
10. Resuelve

3x  2  5 y  11

x  7 y  1  14 

11. A una reunión asistenhombres, mujeres y niños. Los hombres son el doble que las mujeres y los niños juntos,
los niños son la tercera parte de las mujeres. Entre todos llenan las 144 butacas de una sala. Calcula el número
de hombres, mujeres y niños.

SISTEMAS NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.
La resolución de estos sistemas se suele hacer por elmétodo de sustitución.
Ejercicios.
12. Resuelve

x 2  y 2  5

x y 7 

EJERCICIOS
1. Obtén tres soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondientes:

a) 2 x  y  3 b) x  y  4 c) 3x  2 y  4 d ) 5x  y  6
2. Representa gráficamente:

a) y  3 b) y  4 c) x  4 d ) x  2
3. Representa las rectas en cada caso y di si el sistema tiene una solución, si es indeterminado osi es incompatible. En
caso de que tenga solución, di cuál es:

2 x  y  5
2 x  y  5
2 x  y  5
 x  y  2
a)
b) 
c)
d )
x  y  4
4 x  2 y  8
4 x  2 y  10
3x  y  2
Sol: a) (1 , 3) b) Sistema incompatible c) Sistema indeterminado d) (0 , 2).
4. Dada la ecuación x  3 y  1 , busca otra ecuación que forme con ella un sistema que sea:
a) Compatible determinado cuya...