Tactica 2

§11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo de
aplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación del
movimiento de una partícula que se mueve en unadimensión sobre una recta dada,
que identificaremos con el eje x, bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo de
dicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula(i.e., no
es función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa
[∇×F(x)i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenada
de posición de lamisma; i.e.,
E [11.6] p(x) Ep(xref) ⌡
⌠x
xref
F(x) dx
de modo que la ecuación de conservación de la
Figura 11.1
energía [11.5] puede escribirse como
E 1 [11.7]
2
mv2 Ep(x)
donde E (i.e., laenergía total) es una constante
del movimiento. La ecuación [11.7] establece una
relación entre la velocidad de la partícula y su
coordenada de posición. Para completar la solución
del problemadeberemos determinar la
posición de la partícula en función del tiempo.
Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de la
velocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo esv = dx/dt, obtendremos
v [11.8] dx
dt
2
m
[E Ep(x)]
que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nos
permitirá determinar la función x(t) siempre queconozcamos la función Ep(x) y las
condiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimiento
de E (que es una constante) y de x0 = x(t0). La ec. [11.8] se escribe, pues
[11.9]
⌡⌠
tt0
dt m
2 ⌡
⌠
x
x0
dx
E Ep(x)
§11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión. 277
o sea t t [11.10] 0
m
2 ⌡
⌠
x
x0
dx
E Ep(x)
con lo que queda resuelto (al menos desde un punto devista físico) el problema del
movimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos la
energía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil si...