Tales de Mileto, Pítagoras y Euclides

Tales de Mileto

Tales de Mileto (c. 625/4 a. C. - c. 547/6 a. C.) fue un filósofo y matemático griego. Nació y murió en Mileto, polis griega de la costa Jonia (hoy en Turquía). Fue el iniciador de la escuela filosófica milesia (i.e de Mileto) a la que pertenecen también Anaximandro (su discípulo) y Anaxímenes (discípulo del anterior). En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabiosde Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte. Se le atribuyen desde el s. V a.C. importantes aportaciones en el terreno de la filosofía, las matemáticas, astronomía, física etc., así como un activo papel como legislador en su ciudad natal.
Tales es a menudo considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega yoccidental, 2 3 4 aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres.
Se suele aceptar que Tales comenzó a usar el pensamiento deductivo aplicado a la geometría, y se le atribuye la enunciación de dos teoremas geométricos que llevan su nombre.
Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienenlos ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:
Teorema primero
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Tales de Mileto
Según parece, Tales descubrió el teorema mientrasinvestigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene elsiguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes.Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó elcorolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S,entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Segundo Teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Teorema segundo
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC,es un triángulo rectángulo.
Tales de Mileto
Este teorema, es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.


Demostración

En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentos OA , OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son...