Taller Calculo

TALLER 1.3 –CÁLCULO DIFERENCIAL–GRÁFICAS DE ECUACIONES Y
FUNCIONES
INDICACIONES: Los siguientes ejercicios constituyen una guía de estudio sobre los temas
que hemos trabajado y los que trabajaremos. Estos les sirven de guía para la preparación
de las evaluaciones programadas.
Realice un procedimiento argumentado (charladito) para dar la respuesta a cada uno de los
ejercicios propuestos.
I.(Los ejercicios de éste ítem fueron tomados de los apéndices B y C del texto: Cálculo de
una variable - trascentes tempranas - sexta edición cuyo autor es James Stewart) Desarrolle
lo que se solicita en cada inciso.
1) Demuestre que el triángulo con vértices A(0; 2); B ( 3; 1); y C ( 4; 3) es isósceles y halle
su área y perímetro.
2) Demuestre que los puntos A(1; 1); B (7; 4); C (5; 10) y D(1; 7) son los vértices de un
paralelogramo. Calcule su área y perímetro.
3) Demuestre que los puntos A( 2; 9); B (4; 6); C (1; 0) y D( 5; 3) son los vértices de un
cuadrado. Calcule su área y perímetro.
4) Demuestre que los puntos A(1; 1); B (11; 3); C (10; 8) y D(0; 6) son los vértices de un
rectángulo. Calcule su área y perímetro.
5) Gra…que y encuentre la ecuación de la recta quesatisface las condiciones dadas.
a) Pasa po (2; 3) y tiene pendiente 6:
7
b) Pasa por ( 3; 5) y tiene pendiente 2 :
c) Pasa por ( 1; 2) y (4; 3):
d) Pasa por (4; 5) y es paralela al eje x:
e) Pasa por (4; 5) y es paralela al eje y:
f) Pasa por (1; 6) y es paralela a la recta de ecuación x + 2y = 6:
2
g) Pasa por ( 2 ; 3 ) y es perependicular a la recta de ecuación 4x 8y = 1:
5
6) Identi…que eltipo de cónica y trace la grá…ca. Escriba las coordenadas de todos los puntos
importantes.
a) y = x2
d) x2 + 4y 2 = 16
g) y = x2 + 2x
j) 16x2 + 9y 2 36y = 108
b) x = y 2
e) 16x2 25y 2 = 400 h) y = x2 6x + 13 k) x2 y 2 4x + 3 = 0
2
2
c) y
x = 1 f) 25x2 + 4y 2 = 100
i) x = y 2 6y + 13 l) 4x2 + 9y 2 16x + 54y + 61 = 0
7) Encuentre la ecuación de un círculo con centro ( 1; 5) y que pasapor el punto ( 4; 6):
8) Pruebe que la ecuación 16x2 +16y 2 +8x +32y +1 = 0 representa una circunferencia. Halle
su centro y su radio. Escriba las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior (las
expresiones para éstas deben presentarse lo más simpli…cado posible).
9) Encuentre la ecuación de la parábola que tiene vértice (1; 1) y pasa por los puntos ( 1; 3)
y (3; 3):
10)Encuentre una ecuación de una elipse con centro en el origen y que pase por los puntos
p
p
(1; 103 2 ) y ( 2; 5 3 5 ):
II. Para cada una de las funciones dadas, en primer lugar halle el dominio de la función. De
ser posible identi…que si el valor que toma f (x) puede ser cero para algún valor de x o si
los valores de f (x) sólo pueden ser positivos o sólo pueden ser negativos (trate de imaginarpara qué valores de x los valores de f (x) resultan positivos, negativos o cero). Analice con
1

detalle los valores que tomaría f (x) cuando x está muy cerca de valores con‡
ictivos (por
ejemplo cerca de valores de x que vuelven cero un denominador o cerca de valores de x
donde una cantidad subradical se vuelve negativa en raíces de índice par). Identi…que el
tipo de ecuación con el tipode grá…ca (podría tratarse de rectas, parábolas, semiparábolas,
semicircunferencias, semielipses, semihipérbolas). Finalmente trace un buen bosquejo de
la grá…ca apoyándose en una tabla de valores (escoja de "manera inteligente" los valores a
tabular, esto es, basados en el análisis anteriormente sugerido). Además calcule las tendencias
que se solicitan en cada caso.
NOTA: (Amplíe lainformación presentada en esta nota consultando el tema LÍMITES en
algún libro de cálculo de una variable) Supongamos que tenemos f (x) = 7 5 x : Sabemos que
si x = 7; entonces f (7) es inde…nido (¿por qué?), pero si x toma valores arbitrariamente
cercanos a 7 pero superiores a 7 (escribiremos esto como x ! 7+ y decimos x tiende a 7
por la derecha o tiende a 7 con valores superiores a 7) los valores...