Taller de derivadas

TALLER DE DERIVADAS

1. Obtenga una ecuación de cada recta tangente que pasa por el punto (4,13) y son
tangentes a la curva y = 2x2 – 1.

2. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x2 – 4x, y paralela a la
recta 2x – y + 3 = 0.

3. Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x3 – 4x,
y paralelas a la recta x + 8y – 8 = 0.4. Demuestre que la recta tangente a la curva y = - x4 + 2x2 + x en el punto (1,2) también
es tangente a la curva en otro punto y encuéntrelo.

5. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva y =  4x – 3 - 1 que es
perpendicular a la recta x + 2y – 11 = 0.

6. ¿En qué punto de la curva x +xy + y = 1 la recta tangente es paralela al eje x.?

7. Halle unaecuación de la recta normal a la curva x – y = x + y en el punto (3,1).

8. Hay dos rectas que pasan por el punto (- 1,3) que son tangentes a la curva
x2 + 4y2 – 4x – 8y + 3 = 0 obtenga una ecuación de cada una de estas rectas.

9. Halle una ecuación de la recta tangente a la curva y24y = x2x en el punto (4,2).

10. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y4 =4x4 + 6xy
en el punto (1,2).

11. Demuestre que la suma de las intersecciones x e y de cualquier recta tangente a la
curva x1/2 + y1/2 = c1/2 es constante e igual a c.

12. Demostrar que en la curva x2/3 + y2/3 = c2/3 el segmento tangente, comprendido entre
los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a c.

13. Demostrar que el segmento de tangente a lahipérbola xy = a2 comprendido entre
los eje de coordenadas, está dividido en dos partes iguales por el punto de contacto.

14. Calcule la intensidad de cambio instantánea de la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de y = x4 + x3 – 3x2 donde ésta es cero.

15. Calcule la intensidad de cambio instantánea de la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de y =2x3 - 6x2 – x + 1 en el punto (3,- 2).

16. Dada f(x) = x2sgnx, analice la diferenciabilidad de f.

17. Dada f(x) = (x -a)[|x|] , demuestre que f-’(a) + 1 = f+’(a) siendo a un entero.

18. Si g es continua en a y f(x) = (x2 - a2)g(x) obtenga f ’(a).

19. Dada f(x) = [|x|] , ¿qué pasa si x1 no es un entero con f ’(x1) ?¿ y si x1 es un entero
con f ’(x1)?

20. Dada la funciónf(x) = x2 + 2, si x  3
20 - x2, si x > 3

(a) Determine si f es continua en 3
(b) Determine si f es diferenciable en 3.

21. Halle los valores de a y b tales que f´(2) existe, si f(x) = ax + b, si x  2
2x2 – 1, si x  2

22. Dadaf(x) = ax2 + b, si x  1
1 , si x > 1
|x|
Calcule los valores de a y b tales que f ’(1) exista.

23. Si f es diferenciable en a, demuestre que f ’(a) = Lím f(a + h) – f(a - h)
h0 2h

24. Si f ’(x1) existe, demuestre queLím xf(x1) – x1f(x) = f(x1) – x1f ’(x1).
xx1 x – x1

25. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y
f(a+b) = f(a).f(b) para toda a y b .Además, suponga que f(0) =1 y f ’(0) existe.
Demuestre que f´(x) existe para toda x y que f´(x) = f´(0).f(x).

26. Sean f y g funcionescuyos dominios son el conjunto de todos los números reales.
Además, suponga que (i) g(x) = xf(x) + 1, (ii) g(a + b) = g(a)g(b) para todo a y b,
(iii) Lím f(x) = 1. Demuestre que g’(x) = g(x).
x0

27. Suponga que f(x) = |x| + 3x y g(x) = 3 x – 1 |x| .
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Demuestra que ni f ’(0), ni g’(0)...