Taller De Derivadas

Cap´ ıtulo 7 Razones de cambio relacionadas
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Al definir la derivada de una funci´n y = f (x) en un punto fijo x0, se explicit´ que o o ım f (x0 ) = l´ f (x0 + h) − f (x0) f (x) − f (x0 ) ∆y = l´ ım = l´m ı x→x0 h→0 ∆x→0 ∆x h x − x0

donde ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + h) − f (x0) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables y & x, respectivamente. Refiri´ndonos a estos incrementospodemos decir que: e • El incremento ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0 ), muestra el cambio que tiene la variable y • El incremento ∆x = x − x0 = h, muestra el cambio que tiene la variable x. De esto se desprende que el cociente f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0) ∆y = = ∆x x − x0 h es una raz´n de cambio que muestra la raz´n entre el cambio que tiene la variable y & el cambio o o que tienela variable x. Es decir es una raz´n que compara el cambio de la variable y, con respecto al cambio de la variable o x. O sea que, es una raz´n que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado o por x0 & x0 + ∆x. • Esto es, es la raz´n de cambio promedio de la funci´n y = f (x) con respecto a x, a lo largo del o o intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x. ∆y nos estamosrefiriendo a la raz´n de cambio promedio de la variable y o ∆x→0 ∆x cuando se consideran cambios cada vez m´s peque˜os en la variable x. Podemos decir que con este l´mite a n ı se busca una raz´n de cambio instant´nea de la variable y con respecto a la variable x. o a Ahora bien, al escribir l´m ı
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canek.azc.uam.mx: 24/ 7/ 2007

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CAP´ ITULO 7. Es decir, cuando hacemos que la longitud (|∆x |) del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x tienda a cero, “la raz´n de cambio promedio de y” se convierte en “la raz´n de cambio instant´nea de y”, por supuesto, o o a con respecto a x. Comentario adicional. En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t, es usual referirse a la derivada como una velocidad de cambio, en lugar de decir raz´n de cambio instant´nea conrespecto a t. Por ejemplo: o a • si x = φ(t) es la posici´n de un m´vil en el instante de tiempo t, entonces o o dx = φ (t) es la velocidad dt de cambio de la posici´n x = φ(t) en el instante de tiempo t, que es la velocidad instant´nea del o a m´vil. o dv = g (t) es la velocidad dt de cambio de la velocidad v = g(t) en el instante de tiempo t, que es la aceleraci´n instant´nea del o a m´vil. o

•si v = g(t) es la velocidad de un m´vil en el instante de tiempo t, entonces o

Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una funci´n de la que queremos medir y o obtener su raz´n de cambio (su derivada). Es muy problable que dicha funci´n se encuentre relacionada o o con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. La estrategia en este caso consiste enencontrar una relaci´n matem´tica en donde se relacionen las funciones que aparezcan en el contexto o a del problema. Posteriormente se deriva la expresi´n matem´tica mencionada y se obtiene una relaci´n de funciones y o a o razones de cambio (las que se conocen con las que no se conocen). Por ultimo se despeja la raz´n de cambio deseada que estar´ en t´rminos de las otras razones de cambio. ´ o a eSe dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas. En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qu´ es lo que se pide en el problema? e as´ como, ¿qu´ es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos ı e a matematizar el problema. Ejemplo 7.1.1 Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila seforman ondas circulares conc´ntricas e cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 metros, ´ste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm/s. ¿A qu´ rapidez (velocidad) aumenta el ´rea del c´ e e a ırculo formado por dicha onda? ¿Qu´ se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que est´ aumentando el ´rea e a a de un...