TALLER MATLAB 2

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La función diff calcula la derivada de una función respecto a una variable x. Por defecto, calcula la derivada primera, pero también puede calcular la derivada segunda, tercera, etc., indicándoselo en su segundo argumento.
>> syms x;
>> y=(sin(x))^2;
>> yp=diff(y)
yp =2*cos(x)*sin(x)
>> ypp=diff(yp)
ypp =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2
>> diff(y,2)
ans =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2Derivadas parciales (respecto de una variable)
>> syms x y;
>> diff(x*sin(x*y),x)
ans =sin(x*y) + x*y*cos(x*y)
>> diff(x*sin(x*y),y)
ans =x^2*cos(x*y)
Comprobar que la función y=Ae−2xcos(3x+b)  es la solución de la ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas, donde A y b son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (posición inicial y velocidadinicial).
d2ydx2+4dydx+13y=0
>> syms x A b;
>> y=A*exp(-2*x)*cos(3*x+b);
>> diff(y,2)+4*diff(y)+13*y
ans =0
Representación gráfica
ezplot('f(x)',[xmin xmax]) representa gráficamente una función f(x) en el intervalo especificado [xmin xmax].
Representamos la función
y=e−0.3xcos(4x)
en el intervalo [0 5π].
>> syms x;
>> ezplot('exp(-0.3*x)*cos(4*x)',[0 5*pi -1 1])

Estudio de una función
Sea la funcióny=x2x2−x−6
La representamos gráficamente
>> syms x;
>> y=x^2/(x^2-x-6);
>> ezplot(y,[-10 10])

Puntos de corte con el eje X
son las raíces de la ecuación
x2x2−x−6=0
El único punto de corte es (0,0)
>> solve(y)
ans =
0
0
Asíntotas
La asíntota horizontal se calcula tomando el límite de f(x) cuando x se aproxima al infinito positivo
limx→+∞x2x2−x−6=1
>> limit(y,inf)
ans =1
La asíntota horizontal es larecta de ecuación y=1
Las asíntotas verticales se encuentran buscando las raíces del denominador, es decir resolviendo la ecuación x2-x-6=0
>> solve(x^2-x-6)
ans =
3
-2
Las asíntotas verticales son las rectas de ecuación x=3, x=-2.
Máximos, mínimos y puntos de inflexión
Los extremos de un función se calculan haciendo la derivada de la función igual a cero.y'=2x(x2−x−6)−x2(2x−1)(x2−x−6)2=−x(x−12)(x2−x−6)2
>> yp=diff(y)
yp =- (2*x)/(- x^2 + x + 6) - (x^2*(2*x - 1))/(- x^2 + x + 6)^2
>> solve(yp)
ans =
0
-12
Para determinar si es un máximo o un mínimo, calculamos la derivada segunda y determinamos su signo parax=0 y x=-12.
y''=2(7x2+12x+36)(x2−x−6)3
Para determinar los puntos de inflexión igualamos la derivada segunda a cero y obtenemos las raíces
>> ypp=diff(y,2)
ypp =
- 2/(- x^2 + x + 6) -(2*x^2)/(- x^2 + x + 6)^2 - (2*x^2*(2*x - 1)^2)...
/(- x^2 + x + 6)^3 - (4*x*(2*x - 1))/(- x^2 + x + 6)^2
>> simplify(ypp)
ans =18/(5*(x - 3)^3) - 8/(5*(x + 2)^3)
>> subs(ypp,x,0)
ans = -0.3333
>> subs(ypp,x,-12)
ans = 5.3333e-004
>> solve(ypp) %puntos de inflexión
ans =
- 6/7 + (6*6^(1/2)*i)/7
- 6/7 - (6*6^(1/2)*i)/7
Para x=0, y''<0 hay un máximo
Para x=-12, y''>0 hay un mínimo
La curva no tienepuntos de inflexión, la ecuación y''=0, no tiene raíces reales.
Creamos el script func_estudio, para dibujar la función, los ejes y las asóntotas.
syms x;
y=x^2/(x^2-x-6);
hold on
ezplot(y,[-15 10])
asint=limit(y,inf);
raices=solve('x^2-x-6');
line([-15 10],[0 0]) %eje horizontal
line([0 0],[-5 10]) %eje vertical
plot([-15 10],[asint asint],'g') %asíntota horizontal
plot(raices(1)*[1 1],[-510],'r') %asíntotas verticales
plot(raices(2)*[1 1],[-5 10],'r')
hold off

Ejercicio
La ley de distribución de las velocidades moleculares de Maxwell es
f(v)=2π(mkT)3−−−−−−−√v2exp(−mv22kT)vmáx=2kTm−−−√
La expresión de vmax corresponde a la velocidad de las moléculas para la cual la función presenta un máximo y está directamente relacionada con la temperatura absoluta T.
Calcular la velocidad vmax de lasmoléculas para la cual la función presenta un máximo
Calcular el valor de esta velocidad para las moléculas de oxígeno: m=5.3·10-26 kg, T=300 K, k=1.38·10-23 J/K
Representar la función f(v) para las moléculas de oxígeno en el intervalo (0, 1500) m/s.
>> syms m v k T pi;
>> y=sqrt((2/pi)*(m/(k*T))^3)*v^2*exp(-m*v^2/(2*k*T));
>> yp=diff(y,v);
>> simplify(yp)
ans =(2^(1/2)*v*(2*T*k...