Taller señales y sistemas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
EJERCICIOS DE SEÑALES Y SISTEMAS

NOMBRE: Luis Gabriel Tutachá C

PARTE 1

Ejercicio 9.22 Determine la función del tiempo, X(t), para cada una de las siguientes transformadas de Laplace y sus regiones de convergencia asociadas.

a) 1s2+9 Re{s}>0

Teniendo en cuenta que: sinwtut WS2+ W2 Re{s}>0

Entonces:
13sen3tu(t)13(3s2+ 32) Re {s}>0.

x(t)= 13sen3tu(t)

b) ss2+9 Re{s}<0

Teniendo en cuenta que: coswtut sS2+ W2 Re{s}>0

Usando la propiedad de escala en el tiempo tenemos que _

Entonces:
cos3tu(-t) -(ss2+ 32) Re {s}<0.

x(t)=-cos3tu(-t)

c) s+1(s+1)2+9 Re{s}<-1

Por propiedad de corrimiento tenemos:

et*coswtut s+1(S+1)2+ W2 Re{s}>1

Usandola propiedad de escala en el tiempo tenemos que _

Entonces:
e-tcos3tu(-t) -(s+1(s+1)2+ 32) Re {s}<-1.

x(t)=-e-tcos3tu(-t)

d) s+2s2+7s+12 -3<Re{s}<-4

Usando la expansión por fracciones parciales, tenemos:

s+2s2+7s+12= s+2 (s+4)(s+3)= As+4+bs+3

Si s=-4; A=-4+2 (-4+3)=2 y Si s=-3; B=-3+2 (-3+4)= -1

X(s)= 2s+4-1s+3 , al tener ROC podemos calcularla transformada de Laplace:

x(t)= 2e-4tut+ e-3tu(-t)

e) s+1s2+5s+6 -3<Re{s}<-2

Usando la expansión por fracciones parciales, tenemos:

s+1s2+5s+6= s+1 (s+3)(s+2)= As+3+bs+2

Si s=-3; A=-3+1 (-3+2)=2 y Si s=-2; B=-2+1 (-2+3)= -1

X(s)= 2s+3-1s+2 , al tener ROC podemos calcular la transformada de Laplace:

x(t)= 2e-3tut+ e-2tu(-t)

f) (s+1)2s2-s+1Re{s}>1/2

Podemos rescribir X(s) como:

X(s)= s2+2s+ 12s2-s+1 = s2+2s+ 12-3s+3ss2-s+1= s2-s+ 12s2-s+1+3ss2-s+1 = 1+3ss2-s+1


Llevando el segundo término a una mejor expresión tenemos:
Teniendo en cuenta que se necesita que la región de s es mayor que ½ entonces:
X(s)=1+3ss2-s+14 +34=1+3ss-122+34=1+3s-32+32s-122+34=1+3(s-12)s-122+322+332s-122+322

Podemos observar que el segundoy tercer término son coseno y seno respectivamente en transformada inversa de Laplace.

x(t)= δ(t) + 3e-t2cos32tu(t) + 3e-t2sin32tu(t)

g) s2-s+1(s+1)2 Re{s}>-1

Podemos rescribir X(s) como:

X(s)= s2+2s+1s2+2s+1-3ss+12=1-3ss+12

Nosotros sabemos que:

t*u(t) 1s2, Re{s}>0;

Entonces teniendo en cuenta esta propiedad y la del corrimiento en el tiempo decimos que:e-tt*u(t) 1(s+1)2, Re{s}>-1;

Usando la propiedad de la diferenciación:

ddt[e-tt*u(t)]= e-tu(t)- te-tu(t) s(s+1)2, Re{s}>-1;

Por lo tanto:

x(t)= δ(t) -3e-tu(t) - 3te-tu(t)

Ejercicio 9.33. La función del sistema de un sistema LTI causal es:

H(s)= s+1s2+2s+1

Determine y trace la respuesta y(t) cuando la entradaes:

x(t)= e-|t|,  - < t <

Puesto que x(t)= e-|t|=e-tu(t)+etu(-t)

X(s)= 1s+1-1s-1 =s-1-s -1s+1(s-1)=-2s+1(s-1), -1<Re{s}<1

Tenemos también que:

H(s)= s+1s2+2s+2, los polos de H(s) son: s=-2±4-422 = -1±-44= -1±i

y puesto que h(t) es causal podemos concluir que ROC de H(s) es:Re{s}>-1.

Ahora

Y(s)=X(s).H(s)= (-2s+1s-1)(s+1s2+2s+2)= -2s-1(s2+2s+2)

El ROC de Y(s) es la intersección del ROC de X(s) y el ROC de H(s) luego.

-1<Res<1

Ahora podemos obtener la siguiente expansión por medio de fracciones parciales para Y(s):

Y(s)=-2s-1(s2+2s+2)= As-1+BS+Cs2+2s+2

=As2+2s+2+s+1BS+C=-2

=As2+2As+2A+BS2-BS+SC-C=-2

=(A+B)s2+(2A-B+C)s+2A-C=-2, luego:A+B=0; 2A-B+C=0; 2A-C=-2

Tenemos tres incógnitas con tres ecuaciones y solucionamos el sistema:

A=-25; B=25; C=65

Y(s)=-2/5 s-1+(2/5)S+6/5s2+2s+2= -2/5 s-1+25S+ 65 - 45+ 45s2+2s+2-1+1= -2/5 s-1+25(S+ 1)+ 45s+12+1=-2/5 s-1+25(S+ 1)s+12+1+ 45s+12+1

Observando que el ROC de Y(s) es:
-1<Res<1
Usando tablas de Laplace tenemos que:

y(t)= 25etu-t+25e-tcostut+45e-tsintut....
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