taller4_Espacios_vectoriales2015 2

Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
ALGEBRA LINEAL
Taller Espacios Vectoriales
Mayo de 2013
I. En los siguientes ejercicios se da un conjunto de elementos, junto con operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalar. Determinar cu´ales son
espacios vectoriales bajo las operaciones dadas. Para aquellos que no sean
espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no secumplen.
1. El⊕
conjunto de los
⊙ numeros reales positivos con las operaciones
x y = xy y k x = xk
2. En R2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente
por:
⊕
(x⊙
(x2 , y2 ) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)
1 , y1 )
α (x, y) = (α + αx − 1, α + αy − 1)
3. En R2 , ⊕
con las siguientes operaciones
(x⊙
,
y
)
(x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 + 1)
1 1
k (x, y) = (kx, ky + k − 1)
II.Determinar si el conjunto W con las operaciones usuales es un subespacio
del espacio vectorial V.
[
]
a b
1. W = {
| ad = 0}, V=M2×2
c d
2. W = {S ∈ Mn×n

| S es sim´etrica}, V=Mn×n .

3. W = {p(x) ∈ P4 | p(0) = 0},V = P4 .
→
→
→
4. W = {−
v ∈ Rn | −
v es ortogonal al vector fijo−
u }, V=Rn .
5. W = {A ∈ Mn×n

| det(A) = 1}, V=Mn×n .

6. W = {A ∈ M2×2

| A2 = A}, V= M2×2 .

7. W = {A ∈ Mn×n

| tr(A) = 0},V= Mn×n

8. W = {X ∈ R
V=Rm .

m

|AX = O

, A es una matriz fija de tama˜
no n × m},

III. Determine si el vector dado est´a en el espacio generado por los vectores
dados:
1

1. (1, −2, 2, 3); {(1, 0, 1, 0), (1, 0, −2, 1), (2, 0, 1, 2)}.
2. 2t2 + t + 3 ; {t2 + t − 4, t − 8, 3t2 + 5}
[
] {[
] [
] [
] [
]}
1 3
0 1
1 0
2 3
4 1
3.
;
,
,
,
0 −1
−3 1
0 −1
5 0
0 0
IV. Diga si el conjunto dado genera elespacio vectorial V:
1. {(2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1)}; V= R3
2. {2t2 − t + 1, t + 3, 4t2 − t + 5, 2t2 − 2t − 2}; V= P2
{[
] [
] [
]}
3 2
2 0
3 −2
3.
,
,
; V= M2×2
4 1
1 0
0 1
V. Clasifique los siguientes conjuntos como L.I. o L.D.
(
) (
) (
)
−1 2
1 0
1 2
1. {
,
,
}
1 3
−1 1
−1 5
2. {(2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1)}
3. {4t2 − t, 2t2 + 6t + 3, −4t2 + 10t + 2}
VI. Resolver.
1. Para qu´e valoresde x y y el vector (2, x, 3, −y) ∈ gen{(2, 3, 1, −5), (0, 2, −1, 3)}
2. Para qu´e valores de a los siguientes vectores forman una base de R3
{(a2 , 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)}
3. Demostrar que para cualquier terna de vectores u, v, w, los vectores
u − v, v − w, w − u forman un conjunto L.D.
VII. Demuestre que el conjunto B es una base del espacio vectorial V y encuentre el vector de coordenadasde u con respecto a la base B ([u]B )
1. B = {(3, 2, 2), (−1, 2, 1), (0, 1, 0)} V = R3 , u = (5, 3, 1)
2. B = {t2 + t, t − 1, t + 1} V = P2 , u = 3t2 − t + 2
{[
] [
] [
] [
]}
(
1 1
0 0
1 0
0 1
3
3. B =
,
,
,
V= M2×2 , u =
0 0
1 1
0 1
1 1
4

−1
2

)

VIII. Determine una base y la dimensi´on de los subespacios W dados:
1. W = {(x, y, z)| 3x − 5y + 2z = 0}
2. W = {ax2 + bx + c| c = 2a − 3b}
{
[
]
[1 1
1
3. W = X ∈ M2×2 |
X=X
0 0
0

1
0

]}

4. W = L ∩ M , donde L = {p(x) ∈ P4 : p(1) = 0} y M = {p(x) ∈ P4 :
p(0) = 0}
5. W = gen{(1, −1, 2), (2, 1, 0), (3, −1, 4), (1, 0, −1)}
6. W = {(x2 + x + 1)p(x)

| p(x) ∈ P2 }
2

IX. Determine una base para el espacio nulo, la nulidad y el rango de la matriz
dada.


1 −1 1
2 −2 2

1. 
3 −3 3
4 −4 4


1 0 1 0
1 2 3 1

2. 
2 1 3 1
1 1 2 1

1 2 −1 −3 0 6
0 2 4
3. 0 0 0
0 0 0
0 0 9
X. Usando el proceso de Gram-Schmidt encontrar una base ortonormal del
espacio W :
1. W = gen{(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1)}.
2. W = {(x, y, z, w) ∈ R4

| 2x − y + z − 3w = 0}

XI. Dadas las bases:
→
→ −
−
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
−
→ −
→ −
→ −
→
B1 = { i , i − j , i − j − k } y B2 = {2 i + j , 3 j , 5 k − i }, en R3 ,
halle la matriz de cambiode base de B2 a B1 . Adicionalmente, halle una
base ortogonal B3 para R3 obtenida a partir de B2 (Gram -Schmidt).
XII. Halle
una
on QR de la matriz

 factorizac`ı´
1 1
2 2 


3 −3
4 4
XIII. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (Justifique).
1. Si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V, entonces
W1 ∪ W2 es subespacio de V.
2. Si el conjunto {v1 , v2 ,...