tangencias apolonio

El problema de Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), es el siguiente Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres. En total hay diez casos HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-ppp.htm Tres puntos HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-rrr.htm Tres rectas HYPERLINKhttp//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-ppr.htm Dos puntos y una recta HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-prr.htm Dos rectas y un punto HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-ppc.htm Dos puntos y una circunferencia HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-pcc.htm Dos circunferencias y un punto HYPERLINKhttp//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-rrc.htm Dos rectas y una circunferencia HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-rcc.htm Dos circunferencias y una recta HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-prc.htm Un punto, una recta y una circunferencia HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-ccc.htm Tres circunferencias Los dos primeros casos, los ms sencillos, aparecen en el Libro IV de losElementos de Euclides. Los casos 3, 4, 5, 6, 8 y 9 estn en el Libro I de la obra Tangencias (o Contactos) de Apolonio, mientras el 7 y el 10 ocupan el Libro II de esta obra. HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-ppp.htm Tres puntos Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados. Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un tringulo. Elcentro de dicha circunferencia se obtiene fcilmente, como interseccin de las mediatrices de dos de los lados de ese tringulo. En el caso de que los tres puntos dados estn alineados el problema carece de solucin. INCLUDEPICTURE http//garciacapitan.auna.com/bella/imgs/ppp.gif MERGEFORMATINET HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-rrr.htm Tres rectas Trazar una circunferencia quesea tangente a tres rectas dadas. A) Supongamos en primer lugar que las tres rectas dadas se cortan dos a dos formando un tringulo. Entonces hay cuatro circunferencias a las tres rectas son las tangentes al tringulo, tres de las cuales son exteriores y una es interior. Para obtenerlas, basta hallar las bisectrices interiores e interiores de los ngulos del tringulo, producindose los circunferenciasbuscadas en las intersecciones de estas rectas. INCLUDEPICTURE http//garciacapitan.auna.com/bella/imgs/rrr1.gif MERGEFORMATINET B) En el caso de que dos de las rectas dadas sean paralelas y la tercera sea secante a ambas, se obtienen dos soluciones trazamos la paralela media a las dos rectas paralelas dadas y hallamos la interseccin de esta paralela con las bisectrices de los ngulos formados conla recta secante. INCLUDEPICTURE http//garciacapitan.auna.com/bella/imgs/rrr2.gif MERGEFORMATINET HYPERLINK http//garciacapitan.auna.com/bella/htm/apo-ppr.htm Dos puntos y una recta Dados dos puntos y una recta, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta. A) Si los dos puntos dados A y B estn en una recta paralela a la recta dada, el punto de tangenciacon la recta se obtendr al cortar con la mediatriz del segmento AB. Ahora slo se trata de hallar la circunferencia que pasa por tres puntos INCLUDEPICTURE http//garciacapitan.auna.com/bella/imgs/ppr1.gif MERGEFORMATINET B) Otra posibilidad es que, siendo los puntos exteriores a la recta dada, estn ambos en el mismo lado y no estn en una paralela a dicha recta Anlisis La recta AB es el ejeradical de las dos circunferencias buscadas, y tambin de cualquier par de circunferencias que pasen por A y B. Cualquier punto M del la recta AB tendr la misma potencia respecto de dos de esas circunferencias, es decir las tangentes desde M medirn lo mismo. Si tomamos como M el punto de interseccin de AB con la recta dada, entonces M ser el punto medio de la tangente comn PQ a las dos circunferencias...