tarea algebra superior

NÚMEROS

COMPLEJOS

Introducción

E

n cursos anteriores aprendimos a resolver ecuaciones del tipo x2–a=0,
lo cual es muy sencillo, sólo se deben seguir unos pasos muy
simples del álgebra:
Ecuación inicial:
x2 − a = 0
Sumando a en ambos términos:
x2 = a

Aplicando raíz cuadrada:
x=

a

Con anterioridad resolvimos cuando a>0, el problema es ¿qué pasa si a
es negativo?
En launidad 3 quedó pendiente encontrar la solución de x2+1=0. Siguiendo
los pasos del álgebra tendríamos que resolver la raíz cuadrada de –1. ¿Existe tal
número? Un número que al multiplicarse por sí mismo su producto sea –1 no
existe en los reales, pero eso no es problema, se puede definir. Y ésta es la definición
de un número muy especial, i. En este capítulo estudiaremos estos números quecomplementan a los reales para encontrar las soluciones de ecuaciones como
x2+1=0. Estos números se llaman imaginarios y cuando se utilizan junto con
números reales se llaman números complejos.
En este capítulo estudiaremos las operaciones y propiedades de los números
imaginarios y de los números complejos, así como su aplicación en la resolución de
ecuaciones.

4.1. Números imaginarios:operaciones fundamentales y potenciación
Debido a que no existe un número a en los reales tal que (a)(a)=–1, fue
necesario definir a los números imaginarios.

143

ÁLGEBRA

SUPERIOR

La unidad de los números imaginarios es

−1 y se representa por la

2
2
letra i. De modo que: ( −1)( −1) = ( −1) = i = −1 .

Por ejemplo: −4 = (4)(−1) = 4 −1 = 2 i
Todas las propiedades de los númerosreales son también propiedades de
los números imaginarios, sólo hay que tener cuidado para manejar i a partir de
su definición.
Para sumar números imaginarios sólo es necesario sumar los números que
los acompañan, así:
3i+5i=(3+5)i=8i
Otro ejemplo:
7 i − 9 i + 4 i = (7 − 9 + 4)i = 2 i
Para multiplicar números imaginarios se multiplican los números reales que
los acompañan y se resuelven laspotencias de i teniendo en cuenta que i 2=–1.
Así,
(3i)(2i)=6i2=–6
Y si multiplicamos los números imaginarios: 7i, –5i y 4i se tiene:

(7 i)(−5i)(4 i) = −140 i3 = (−140)i ⋅ i 2 = (−140 i)(−1) = 140 i
Por convención, no se permite que los números imaginarios estén en el
denominador de ninguna expresión matemática. Por ejemplo, si se tiene:
2
,
i3

entonces se debe cambiar la expresióna la forma ai con a real. Para este fin,
recordemos que i2=–1, entonces:
2
2
2
2
=
=
=
−
i
i3
i( i 2 ) i(−1)
después, multiplicando el numerador y el denominador por i, se tiene:
−

Por lo tanto:

2( i)
2
2i
2i
=−
=− 2 =−
= −(−2 i) = 2 i
i
i( i)
(−1)
i

2
= 2i
i3
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NÚMEROS

COMPLEJOS

Ejercicio 1
1. Suma los siguientes números imaginarios: i, 4i, 7i y9i.

2. Multiplica 4i por 5i y el resultado multiplícalo por 3i.

3. ¿Si i 2=–1, entonces cuánto valdrá i 3 y cuánto i 4?

4.2. Definición de número complejo, forma binómica, igualdad, conjugado
y forma cartesiana (pareja ordenada)
Ahora tenemos dos conjuntos importantes de números: los números reales
y los imaginarios. ¿Qué tipo de número resultaría de la suma de un número real,
a, conuno imaginario, bi? Al sumar un número real con un número imaginario
se obtiene un número complejo.
El conjunto de los números complejos se representa con la letra C. Los
números complejos tienen la forma binómica:
z=a+bi,
donde a y b son números reales e i cumple con i2=–1. El número a es
llamado parte real y se denota a=Re(z), y el b parte imaginaria, denotada
por b=Im(z).
Basándose en elhecho de que cada número complejo a+bi está
completamente determinado por dos reales a y b, la representación geométrica

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ÁLGEBRA

SUPERIOR

consiste en asociarle a cada número de éstos la pareja ordenada (a,b), la cual tiene
asociado un punto en el plano complejo. El número imaginario i tendrá asociada
la pareja (0,1).

Los puntos sobre el eje de las abcisas, que llamaremos...