Tarea De Integrales

TAREA INTEGRALES 1.



( x 2  1) ( x 2  2)
3

x2

dx

Solución:



( x 2  1) ( x 2  2)
3

x2

dx  

x4 x2 2 x
2 3

dx



x4 x
2 3

dx 



x2 x
2 3

dx  2



1 x
2 3

dx

 x

10 3

dx 

x
4

4 3

dx  2  x




2 3

dx

10

x3   10 1 3

1

x3 x 3  2  c 4 2 1  1 3 3

1

2

1

13

71

x3  13 3



x3 7 3



2x 3 1 3
1 3

 c

3x  13

13 3


1

3x 7 

7 3

 6x
1

 c

3x 4 x 3  13
 3x 4
3

3x 2 x 3 7
 3x 2 7
3

1

 6x 3
x

 c

x

13



6

3

x



c

2.

 tan

2

x dx

Solución: Ya que
1  tan 2   sec 2   tan 2   sec 2   1

La integral se transforma como

 tan

2

x dx 

( sec 2 x  1) dx 



sec 2 x dx





dx

 tan x  x  c
3.



2x  3 dx 2x  1

Solución: Se realiza la división de polinomios o se procede de la manera siguiente:



2x  3 dx  2x  1 



2x  1  2 dx 2x  1 

 2 x  1 dx

2x  1

 2 x  1 dx

2





dx 



2 dx 2x  1

En la segunda integral se hace el cambio de variable
u 2x  1  du  2 dx

 x 



du u

 x  ln u  c

 2 x  1 dx 
4.

2x  3

x  ln ( 2 x  1)  c


Si

x cos 3 x dx

Solución:
u  x  du  dx

dv  cos 3 x dx



v 

sen 3 x 3

La integral se transforma en

 x cos 3 x

dx 

x sen 3 x 1  3 3

 sen 3 x

dx



x sen 3 x cos 3 x   c 3 9
dx

5.

 x sen x cos x
Solución: Si
u  x

du  dx

dv  sen x cos x dx
La integral se transforma en



v 

sen 2 x 2



x sen x cos x dx 

x sen 2 x 1   sen 2 x dx 2 2

si se usa la integral Entonces:

 sen

2

u du 

sen 2 u u   c 2 4

 x senx cos x dx 

x sen 2 x 1 x sen 2 x  (  )  c 2 2 2 4

x sen 2 x sen 2 x x  x senx cos x dx  2  4  8  c

6.

x
Solución: Si

2

ln x dxu  x2



du  2 x dx
 v  x ln x  x

dv  ln x dx , prob 01

La integral se transforma en

x

2

ln x dx  x 3 ln x  x 3  2  ( x 2 ln x  x 2 ) dx  x 3 ln x  x 3  2  x 2 ln x dx  2 x 2 dx

 x 3 ln x  x 3  2  x 2 ln x dx 

2 x3  c 3

Es decir,
2 3 3 2  x ln x dx  x ln x  x  2  x ln x dx 

2 x3  c 3

Se agrupa la integral

2 x3 3  x ln x dx x ln x  x  3
2 3 3

 c

Finalmente, se tiene la integral pedida
2  x ln x dx 

x 3 ( ln x  1) 2 x3  3 9

 c

. 7.



x2  5 x  9 dx x 2  5x  6

Solución: Se realiza la división de polinomios o se procede como sigue



x2  5 x  9 dx  x 2  5x  6 


 


x 2  5x  6  3 dx x 2  5x  6 x 2  5x  6 dx  x 2  5x  6
dx 

x

2

3 dx  5x  6

3 dx ( x  2) ( x  3)

Se Descompone el integrando de la segunda integral en fracciones elementales y se utiliza el método de los coeficientes indeterminados
3 A B    ( x  2) ( x  3) x2 x3
3  A ( x  3)  B ( x  2)

A ( x  3)  B ( x  2) ( x  2) ( x  3)

Para calcular los coeficientes indeterminados se dan los siguientes valores
x 2; 3  A( 2  3)  B ( 2  2 )  A3

x 3;

3  A( 3  3)  B ( 3  2 )



B 3

Se tiene el siguiente desarrollo



x2  5 x  9 dx  x 2  5x  6
 


 

dx 



3 dx ( x  2) ( x  3)
A 

dx 

 x  2 dx
dx x2

 x  3 dx
dx x3

B

dx  3 

 3

 x  3 ln ( x  2)  3 ln ( x  3)  c

 x  3 ln

x3  c x2

. 8.



dx x (x  1) 2

Solución: Se descomponeel integrando en fracciones elementales y se utiliza el método de los coeficientes indeterminados:

1 x ( x  1) 2



A x



B A( x  1) 2  Bx ( x  1)  Cx C   x 1 ( x  1) 2 x ( x  1) 2

1  A ( x  1) 2

 B x ( x  1)  C x

Para calcular los coeficientes indeterminados se dan los siguientes valores
x 0; x  1 ; x 1; 1  A (0  1) 2  B (0)(0  1)  C (0)  A...