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Límite de una sucesión
Idea intuitiva del límite de una sucesión  
En la sucesión an = 1/n, observamos que los términos se van acercando a cero.

Consideremos que 0 es el límite de la sucesiónporque: 1 Los términos se aproximan a cero tanto como se quiera a medida que se avanza en la sucesión. 2La distancia a cero puede ser tan pequeña como queramos. d(1, 0) = 1 d(1/10, 0) = 0.1 d(1/100, 0)= 0.01 d(1/1000, 0) = 0.001 ... d(1/1 000 000, 0) = 0.000 001 ... d(1/1 000 000 000, 0) = 0.000 000 001 Vemos que el límite es 0 , pero no hay ningún valor de la sucesión que coincida con el límite.Límite finito de una sucesión 
Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términosde an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Ya que podemos determinar a partir de qué término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un númeropositivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que0.001.

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.001. También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos: Se dice que una sucesión an tiene por límite L si ysólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinitode una sucesión
Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

Vamos acomprobar que el límite de la sucesión an= n2 es +∞. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos M = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000. a101= 1012 = 10 201...
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