Tarea

Método de la “M” o de Penalización.
El único problema serio que introducen las otras formas de restricciones funcionales (= ó ³) es identificar una solución inicial básica factible. Antes, esta solución inicial se encontraba en forma muy conveniente al hacer que las variables de holgura fueran las variables básicas iniciales, donde cada una era igual a la constante no negativa del lado derechode la ecuación correspondiente. Ahora debe hacerse algo más. El enfoque estándar que se utiliza es estos casos es  la técnica de variables artificiales. Ésta construye un problema artificial más conveniente introduciendo una variable ficticia (llamadavariable artificial) en cada restricción que lo requiera. Esta nueva variable se introduce sólo con el fin de que sea la variable básica inicialpara esa ecuación. Las restricciones usuales de no negatividad también se aplican sobre estas variables y la función objetivo se modifica para  que imponga una penalización exorbitante en  el caso de que adquieran valores mayores que cero. Las iteraciones del método símplex automáticamente fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a volverse cero) una a una, hasta  que todas quedan fuera de  la solución; después de esto se resuelve el problema real. 
Para ilustrar la técnica de las variables artificiales, primero se considerará el caso en que la única forma no estándar en el problema es la presencia de una o más restricciones en forma de igualdad.
Restricciones en forma de igualdad.
Cualquier restricción en forma de igualdad:  ai1x1 +ai2x2 + . . . + ainxn = bi 
es equivalentea dos restricciones de desigualdad: 
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn £ bi, ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ³ bi 
En lugar de hacer esta sustitución e incrementar con ello el número de restricciones, es más conveniente usar la técnica de la variable artificial. Suponga que se modifica el problema de ejemplo presentado y resuelto en la sección anterior. El único cambio que sufreel modelo de programación lineal es que la tercera restricción, 3x1 + 2x2 £ 18, se convierte en una restricción de igualdad:  3x1 + 2x2 = 18 
Aplicando la técnica de las variables artificiales se introduce una variable artificial no negativa (denotada por  x5) en la última ecuación, como si fuera una variable de holgura: 
3x1 + 2x2 + x5 =18 
Si tenemos una restricción funcional en forma deigualdad y deseamos “pasarla a su forma de igualdad”, únicamente debemos sumar una variable artificial. 
Restricciones funcionales de la forma ³
Para ilustrar la manera en que la técnica de las variables artificiales maneja las restricciones de la forma ³ usaremos el siguiente ejemplo: 
Minimizar | Z | = | 0.4x1 | + | 0.5x2 |   |   |
sujeta a |   |   | 0.3x1 | + | 0.1x2 | £ | 2.7 |
  |   |  | 0.5x1 | + | 0.5x2 | = | 6 |
  |   |   | 0.6x1 | + | 0.4x2 | ³ | 6 |
  |   |   | x1 ³ 0, |   | x2 ³ 0 |   |   |
Notemos que la tercera restricción es del tipo ³, por lo que para cambiarla a su forma de igualdad tendríamos que restar una variable de superávit (o de excedente), quedando de la siguiente manera:  0.6x1 + 0.4x2 - x5 = 6 
Se ha restado la variable de excedente x5 (se utilizóx5 porque en la primera restricción agregamos una variable de holgura que sería x3 y en la segunda restricción agregamos también una variable artificial que sería x4; todo esto con el fin de convertir las desigualdades a su forma de igualdades) para que consuma el exceso de 0.6x1 + 0.4x2, o sea, lo que se pasa de 6. No obstante en este caso debe agregarse otra variable. Esta variable extra,llamada variable artificial se aumenta como sigue:  0.6x1 + 0.4x2 - x5 + x6 = 6 
La razón de esto es que, si no se agrega la variable artificial, no se estarían cumpliendo las restricciones de no negatividad. Para comprenderlo, se dejará sin aumentar. El método símplex comienza por hacer todas las variables reales (originales) iguales a cero. Entonces: 
0.6x1 + 0.4x2 - x5 = 6 
Sea x1 = 0 y x2 = 0,...