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El modelo de regresión
CP 2010 Gustavo Ramírez Valverde

El modelo de regresión
Cada valor de X conforma una población respecto a los valores de Y. Población con individuos con X = x1
 

Sin perder generalidad, podríamos pensar Y son los gastos de consumo personales y X son los ingresos.

El modelo de regresión lineal consiste en suponer que las medias de las poblaciones para cadavalor de “X” forma una línea recta:

E Y / X =μ Y / X = β 0  β 1 X
0

El modelo de regresión lineal es:
y i =μ Y / X ε i = β 0  β 1 X i ε i
0

El modelo verdadero no se conoce (no se conoce la población). Solo se tiene una muestra (los puntos rojos en la gráfica) y se requiere estimar los parámetros

β 0 y β1

Estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO)
Y

• Los estimadoresde mínimos cuadrados ordinarios, son aquellos valores de los parámetros que minimizan en promedio los residuos al cuadrado

e= yi−  i  y
Resido = Y observada- Y estimada

n 2 i=1

n 2 i=1

min ∑  y i − y i  = min ∑  y i − β 0 − β 1 x  

Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados
• Son insesgados • Son Meli bajo los supuestos básicos • Coincide con los estimadores demáxima verosimilitud • Tienen distribución normal bajo los supuestos básicos

Supuestos de modelo de regresión lineal
• Para hacer correctas inferencias con el modelo, se requiera se cumplan los Supuestos:
• • • • INDEPENDENCIA DE LAS OBSERVACIONES (MUESTRA ALEATORIA). HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS. NORMALIDAD. LAS VARIABLES EXPLICATORIAS SON FIJAS

INTERVALOS DE CONFIANZA
• Bajo los supuestosdel modelo de regresión

y i =β 0  β1 x iε i
 β0 N β0 ,

ε i ∼NIID  0, σ i 
2





n


i =1 n i =1

x2 σ 2 i
2

n ∑  x−x 

 


 β1 N β1 ,

σ
n i=1

2 2

∑  x −x 



INTERVALOS DE CONFIANZA
• Entonces:

 β 0 ± t α / 2 , n− k S β

0

 y β 1± t α / 2, n−k S β1

• Son un intervalo de confianza del 1-α (100)% para βo y β1 • Con

Sβ = 0



x σ2 ∑ 
i=1 n 2 i

n

n ∑  x− x 
i =1

2

Sβ 

i1

=



n


i=1 n

σ2
2

∑  x i−x  i=1

 σ 2=

 
n

∑  y i − y 
i=1

2

n−k

PRUEBA DE HIPOTESIS
• PARA PROBAR: • Ho: βi = 0 • Ha: βi ≠ 0. • Entonces calcular:

 β i −β i t= Sβ 
i

t n−k

 βi tc= S β

i

• Rechazo Ho si

t c ≥ t α/ 2, n−k

EJEMPLO:
• UNA CIERTACOMPAÑÍA PRODUCE LOTES MENSUALES DE TAMAÑO FLUCTUANDO CON LA DEMANDA RELACIONA TAMAÑO DE LOTE Y HORASHOMBRE

X 30 20 60 80 40 50 60 30 70 60

Y 73 50 128 170 87 108 135 69 148 132

Los datos pueden ser importados de Excel

Paquete Gretel con los datos

MCO en GRETL

INTERVALOS DE CONFIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS
• PARA PROBAR: • Ho: β0 = 0 • Ha: β0 ≠ 0.

 β 0 10 tc= = =3 .995302 S 2 .502939 β
0

t c ≥ t α/ 2, n−k
Entonces rechazo Ho.

PRUEBA DE HIPOTESIS
• PARA PROBAR: • Ho: β1 = 0 • Ha: β1 ≠ 0.

 β0 2 tc= = =42 . 58352 S 0 . 046967 β
0

t c ≥ t α/ 2, n−k
entonces rechazo Ho.

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS EN GRETL

EL COFICIENTE DE DETERMINACION COMO MEDIDA DE AJUSTE DEL MODELO

    Y i − Y =  Y i − Y    Y−Y 

ERROR

TOTAL

MODELO

∑  Y i − Y 


SUMA DE CUADRADOS TOTAL

2

=

Y i − Y  ∑


SUMA DE CUADRADOS DELERROR

2



Y − Y  ∑ 
SUMA DE CUADRADOS DELMODELO

2

EL COFICIENTE DE DETERMINACION COMO MEDIDA DE AJUSTE DEL MODELO

Predicción

Y

X

Se desea predecir el valor Y para un valor dado de X

Predicción de nuevas observaciones
Se desea predecirobservaciones futuras de Yo para un valor Xo

   = β β X Y0 0 1 0
El intervalo de predicción se calcula con:
 0 ±t y
α 2

n−2,



1 2  1  x 0 −   / SXX σ 2 x n
n



 SXX=∑  X i− X 2
i=1

Intervalo de confianza para la respuesta media

  μ y/ x = β0 β1 X 0
0

Intervalo

μ y / x ±t
0

n−2,

α 2



2 1 2  x 0−   /SXX σ x n

...
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