tareas

Universidad Mayor de San Sim´n
o
Facultad de Ciencias y Tecnolog´
ıa

Hans M¨ller Santa Cruz
u
Departamento de Mathematicas

Correcci´n Primer Parcial de C´lculo III
o
a

1, 2, 3, 4

27 de abril de 2010

Tabla de Respuestas
1. (25 puntos)Hallar la soluci´n general de la ecuaci´n
o
o
xy − (x + 1)y + y = x2 e2x
sabiendo que y = ex es soluci´n de la ecuaci´n lineal homog´neaasociada.
o
o
e
Respuesta:
Resolvemos primero, la ecuaci´n lineal homog´nea asociada
o
e
xy − (x + 1)y + y = 0,

(LH)

y = ex es una soluci´n no nula de (LH), planteamos y = c(x)ex , para la otra soluci´n. Derivamos
o
o
y = c ex + cex = (c + c)ex ,

y = c ex + 2c ex + cex = (c + 2c + c)ex ,

remplazamos en (LH):
x(c + 2c + c)ex − (x + 1)(c + c)ex + cex = 0, ⇒ xc + (x − 1)c = 0.Reducimos el orden planteando z = c , lo que da
z = (−1 +

1
)z ⇒ z = e−x+ln x = xe−x ,
x

de donde
c=

xe−x dx = −xe−x +

e−x dx = −xe−x − e−x = −(x + 1)e−x .

La otra soluci´n no nula obtenida es y = −(x + 1).
o
Por lo tanto SF = {ex , x + 1} de la ecuaci´n (LH) asociada.
o
Convertimos la ecuaci´n del problema a su forma est´ndar
o
a
y −

1
x+1
y + y = xe2x ,
x
x(L)

Buscamos una soluci´n particular de (L), por variaci´n de constantes, planteando y = c1 (x)ex +
o
o
c2 (x)(x + 1), lo que conduce al sistema lineal
ex
ex

(x + 1)
1

c1
c2

=

0
xe2x

Resolvemos el sistema lineal:

c1

=

c1

=

c2

=

c2

=

0
x+1
xe2x
1
−x(x + 1)e2x
= (x + 1)ex ,
=
−xex
ex (x + 1)
ex
1
(x + 1)ex dx = (x + 1)ex −
ex
0
ex xe2x= −e2x ,
−xex
1
− e2x .
2

ex = xex ,

Por lo tanto la soluci´n particular encontrada es
o
y = (x + 1)ex ex − e2x (x + 1) =

1 2x
e (x − 1)
2

y la soluci´n general est´ dada por
o
a
1
c1 ex + c2 (x + 1) + e2x (x − 1).
2

2. (25 puntos)Hallar la soluci´n del problema a valor inicial
o
 2
 (x + 2y )y + 2xy = 0,
y(0) = 1,

y (0) = 0.
Respuesta:
Reducimos elorden, planteando z = y , obtenemos
(x2 + 2z)z + 2xz = 0,
z(0) = 0.
Por inspecci´n z = 0 es una soluci´n del problema a valor inicial reducido, lo que da y = 0 y por
o
o
consiguiente y = c, y(0) = 1 = c, nos conduce a que y = 1 es una soluci´n del problema a valor inicial
o
del ejercicio.
Ahora, supongamos que existe una soluci´n z = 0 al problema a valor inicial reducido. Se tiene
o
x2 + 2zz +1=0
2xz

o

(

x
1
+ )z = −1,
2z
x

o lo que es lo mismo
x
1
1
=− − ,
z
2z
x
intercambiando roles de funci´n inc´gnita y variable independiente, se tiene
o
o
x =−

1
1
x− .
2z
x

ecuaci´n de tipo Bernouilli
o

Planteamos v = x1−(−1) = x2 , derivamos v = 2xx . Multiplicamos por 2x la ecuaci´n
o
1
1
2xx = − x2 − 2 ⇒ v = − v − 2,
z
z
ecuaci´n de tipolineal. Resolvemos la ecuaci´n lineal homog´nea asociada
o
o
e
c
1
v = − v ⇒ v = ce− ln z = .
z
z
Para la soluci´n particular planteamos v = αz, remplazando da
o
α = −α − 2 ⇒ α = −1,
c
y por consiguiente v = z − z. Se tiene zx2 = c − z 2 , remplazamos la condici´n inicial z(0) = 0,
o
obtenemos c = 0. Por lo tanto

1
zx2 = −z 2 ⇒ z = −x2 ⇒ y = −x2 ⇒ y = − x3 + c
3
Remplazamos lacondici´n y(0) = 1, lo que da c = 1 y por lo tanto la soluci´n del problema del ejercicio
o
o
es

2

3y + x3 = 3.

3. (25 puntos)Hallar la soluci´n general de
o
y =

2 + 3xy 2
4x2 y

Respuesta:
Reescribimos la ecuaci´n
o
y =

3
1
y + 2 y −1 .
4x
2x

ecuaci´n de tipo Bernouilli
o

Planteamos z = y 1−(−1) = y 2 , derivamos z = 2yy , multiplicamos la ecuaci´n por 2y,obteniendo
o
3
3 2
1
1
2yy =
y + 2 ⇒z =
z + 2.
2x
x
2x
x
Resolvemos la ecuaci´n lineal homog´nea asociada
o
e
3
3
z =
z ⇒ z = ce 2 ln x = cx3/2 .
2x
Para la soluci´n particular, planteamos z = α , remplazando se obtiene
o
x
−α
3 α
1
5 1
1
2
=
+ 2 ⇒− 2 = 2 ⇒α=− .
x2
2 x2
x
2x
x
5
La soluci´n de la ecuaci´n lineal esta dada por
o
o
2
21
⇒ xz = cx5/2 − ,
z =...