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La Parábola

Jaime C. Bravo Febres

LA PARABOLA
“Señor.... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando
tengamos razón.... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo”.
Marshall
En la presente entrega, describiremos una curva que como la circunferencia, es muy
importante en las matemáticas y goza con mucha frecuencia de una multiplicidad deaplicaciones.
Definición.
Una Parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un
punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Y

En la figura el punto F es el foco y la recta
D es la directriz, el punto V, a la mitad del
foco y la directriz (pertenece a la parábola)
se llama vértice.

L

D: x = -a
R(-a, y)

P(x, y)
(a, 2a )

La recta Lparalela a la directriz intercepta a
la parábola en los punto P y P’ los que son
simétricos, y así ocurre con todos los
puntos de ella por esta razón la recta VF,
que pasa por el vértice y el foco es el
bisector perpendicular de PP’ y de todas las
cuerdas dibujadas de modo similar. A la
recta que pasa por los puntos V y F se le
llama eje de la parábola y se dice que la
parábola essimétrica respecto a su eje.

-a

V

F(a, 0)

(a, -2a )
La ecuación más simple de la parábola la
P’ (x, −y)
conseguimos haciendo coincidir el vértice
con el origen del sistema de coordenadas
cartesianas y el eje de la parábola con el
Figura 1
eje de las abscisas, de tal manera que la
directriz D, tiene ecuación x = −a; por tanto el punto R de ella tiene por coordenadas (−a, y)Aplicando la definición de la parábola del punto P a la directriz D y al foco F se tiene:
d(P, F) = d(P, R)
(x − a)2 + (y − 0)2 = (x + a)2 + (y − y )2

de donde:
( x − a) 2 + y 2 = ( x + a) 2

x2 − 2ax + a2 + y2 = x2 + 2ax + a2
y 2 = 4ax

1

X

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Jaime C. Bravo Febres

Esta es la ecuación de una parábola con el vértice en el origen y foco en (a, 0).
Como a > 0, x puede tomarcualquier valor positivo o cero, pero no valores negativos, la
gráfica se aleja por tanto indefinidamente en el primer y cuarto cuadrantes y el eje de la
parábola es el eje positivo de las abscisas. A partir de la ecuación, resulta evidente que la
parábola es simétrica con respecto a su eje, pues se tiene que:
y = ±2 ax

LADO RECTO:
A la cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje dela parábola se le da el nombre de
lado recto. La longitud del lado recto se puede determinar mediante las coordenadas de sus
extremos. Sustituyendo “a” con “x” en la ecuación y 2 = 4ax , se encuentra:
y 2 = 4a 2

∧

y = ±2ª

Por tanto los extremos son (a, −2a) y (a, 2a). Esto hace que la longitud del lado recto sea
igual a:
L. R. = 4a
Nota:
El vértice y el foco son suficientes parahacer un esbozo de la parábola
Si tenemos el foco de la parábola a la izquierda del origen, se escoge a < 0, por tanto el foco
se representa con F(a, 0), y la directriz con x = −a. (ver la figura). Por consiguiente
considerando el punto P(-x, y) se tiene:
Y
P = (-x, y)

R(a, y)
(-a, 2a)

a
(-a , 0) F

V

(-a, -2a)

X

D1: x = a

P = (-x, -y)

Figura 2
Aplicando la definiciónde la parábola del punto P a la directriz D1 y al foco F se tiene:
d(P, F) = d(P, R)

2

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Jaime C. Bravo Febres

(−x + a)2 + (y − 0)2 = (a + x)2 + (y − y )2

de donde:
(a − x ) 2 + y 2 = ( x + a ) 2

a2 − 2ax + x2 + y2 = x2 + 2ax + a2
y 2 = 4ax

Esta es la ecuación de una parábola con el vértice en el origen y foco en (−a, 0). En esta
última expresión como a < 0, lavariable x sólo puede tomar valores negativos para que la
expresión última y2 = 4ax, tenga sentido.
En resumen podemos afirmar: “La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco
en (a, 0) es: y 2 = 4ax . La parábola se abre hacia la derecha si: a > 0 y se abre hacia la
izquierda si a < 0.
Si ahora hacemos coincidir el vértice de la parábola con el origen del sistema de...