Tareas

FRACCIONES PARCIALES
Recuerda, ¿Qué es una fracción simple?
En aritmética o en algebra elemental aprendimos a realizar operaciones entre fracciones. Así, dos
o más de éstas, se reducen a una sola mediante procesos de suma o resta, o aplicando cualquier
otra operación. Pero ¿que pasa con el proceso inverso? Es decir, ¿cómo se transforma una
fracción dada, como una suma de fracciones mássimples? Para dar respuesta a estos
interrogantes comencemos por recordar. Una fracción es un cociente, y en particular las que
competen a este estudio diremos que son aquellas que definen el cociente de dos polinomios.
Para Calcular la integral de algunas expresiones racionales, complejas por su forma, es muy útil
el empleo de procedimientos que conlleven a descomponer la Fracción en otrasfracciones más
simples conduzcan a integrales inmediatas o por lo menos fácilmente calculables por técnicas ya
estudiadas. Este proceso es conocido como descomposición en fracciones simples o fracciones
parciales. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea
estrictamente mayor que el grado del polinomio del numerador.

R ecordamos que una fracción simple escualquier fracción
P ropia d e polinomios ( Si el grado del polinomio d el
d enominador e s estrictamente mayor que el g rado
d el polinomio del numerador), cuyo d enominador sea
d e la forma

s i el polinomio
n o tiene raíces reales y

e s cualquier n úmero e ntero positivo

Para ver como funciona, esta técnica de integración trabajemos sobre una función racional
donde
Es posible expresary

son polinomios de . Además

es diferente de cero.

como una suma de fracciones mas sencillas, siempre que el grado de

sea menor que el grado de . Esa expresión racional se llama propia. En otro caso, la fracción se
llama impropia y en tal caso

, en donde

y

son también polinomios reales

en . Para tal efecto se hace una división larga entre los polinomios (numerador entredenominador.
Para ilustrar más claramente ese hecho analicemos los dos siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.
Determinar

Proceso de división larga por
ser
Fracción Impropia

Fracción equivalente a la suma de un monomio y
una fracción más simple que la original, que corresponde a la integral descrita a
continuación.
Integrales equivalentes, a la derecha inmediata
Resultado obtenido alintegrar

Ejemplo 2

Calcular

Se observa claramente que hay que realizar la división del nu merador entre el
denominador, la fracción es impropia. Este proceso conduce a

La integral puede ahora expresarse como la suma de
dos integrales

La primera de las integrales a la derecha del signo igual es inmediata, la segunda debe
resolverse por fracciones simples.
Proceso de Transformación1. El polinomio del denominador se descompone en factores, lineales o en factores
cuadráticos, es decir
o bien

2. Por cada factor Lineal o cuadrático se asocia una fracción simple con numerador
constante real que se simboliza por una letra como
en su orden
respectivo o
. Seguidamente se manipula algebraicamente.

No olvide tener en cuenta:
1. Si el grado de (denominador) es menor oigual al grado de
(numerador), se efectúa la división, se obtiene un polinomio y
una fracción más simple que la inicial.
2 Es absolutamente necesario conocer el numero de raíces de .
Por el teorema fundamental del algebra, toda ecuación de grado tiene raíces reales,
lo que garantiza que el polinomio puede descomponerse en factores lineales y/o
factores cuadráticos Reales, en el supuesto deque los coeficientes de la ecuación lo
sean.

Veamos el proceso en el desarrollo de la integral dos ejercicio descrito anteriormente.
La integral

como ya se dijo, debe resolverse por descomposición en

fracciones parciales.
Tal como se explicó en el proceso de transformación,
Al factorizar el trinomio del denominador

Por cada factor lineal se incluye una fracción
simple
Hallando...