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1.- LA DERIVADA:
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independientese toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice unvuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta a la gráfica de la función en dicho punto. La rectatangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′.El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hastaveinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Buenaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas,volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
2.- LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA:
En el tema anterior se llegó a que una razón de cambio instantáneo es una Función definida en todos los puntos del intervalo
 Por lo tanto, la derivada es en sí una razón de cambio instantáneo de dos variables relacionadas.
Es decir, la razón de cambio es unafunción continua y suave en un intervalo [a, b]. Si x es un punto del intervalo, entonces la derivada de la función en tal punto se representa como f` (x)
La razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con respecto a otra, de manera más explícita hablamos de la pendiente de una curva en una gráfica, es decir el cambio en el eje "y" entre el cambio del eje "x". A esto se leconoce también como la primera derivada.

La razón de cambio instantánea también conocida como la segunda derivada se refiere a la rapidez con que la pendiente de una curva cambia en determinado momento. Por lo tanto hablamos de la razón de cambio de la pendiente en un momento específico.






3.- INTERPRETACIÓN:
En matemáticas y lógica una interpretación es una aplicación desde un...