tareas

Progresiones Geom´etricas

1

Progresiones Geom´etricas
Una sucesi´on a1 , a2 , a3 , ..., an , ... es una progresi´on geom´etrica si y s´olo si si existe un n´umero real r = 0
tal que
an+1
=r
an
para todo entero positivo n.
Nota 1

Al n´umero r se le llama raz´on com´un, raz´on de la progresi´on o simplemente raz´on.

Con la anterior f´ormula podemos obtener en foma recursiva lost´erminos de la progresi´on. As´ı,
an+1 = an · r
Haciendo algunas transformaciones algebraicas, obtenemos
a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 , a1 r4 , ...
De donde, el en´esimo t´ermino de la progresi´on esta dada por la f´ormula:
an = a1 · rn−1
Esta f´ormula nos dice que un t´ermino cualquiera es igual al primer t´ermino multiplicado por la raz´on elevada a un potencia igual al n´umero de t´erminos quelo preceden.
✞

☎

Ejemplo 1 ✆Hallar los cinco primeros t´erminos y el d´ecimo t´ermino de la progresi´on cuyo primer t´ermino
✝
es 3 y en que la raz´on es − 21 .
Soluci´on:
Si a1 = 3 y r = − 12 , entonces los cinco primeros t´erminos son
a2 = a1 · r = 3 · (− 21 ) = − 32 ,
a3 = a1 · r2 = 3 · (− 12 )2 = 34 ,
a4 = a1 · r3 = 3 · (− 12 )3 = − 38 y
a5 = a1 · r4 = 3 · (− 12 )4 =

3
.16

La progresi´on buscada es:
3 3 3 3
3, − , , − ,
2 4 8 16
Para hallar el t´ermino a10 usamos la f´ormula an = a1 · rn−1 , obtenemos
a10 = 3(− 12 )9 =

−3
.
512

Finalmente,

www.matebrunca.com

Profesor Waldo M´arquez Gonz´alez

Progresiones Geom´etricas

2

a10 = −
☎

✞

3
512

Ejemplo 2 ✆Encuentre el s´eptimo t´ermino de la progresi´on geom´etrica: 2, 6, 18, ...✝
Soluci´on:
Encontraremos a7 , con r =

6
2

=3

a7 = a1 · r6 = 2 · 36 = 1458.
Nota 2

Cuando los t´erminos de la progresi´on son alternativamente positivo y negativo, la raz´on sera un
n´umero negativo.
✞

☎

Ejemplo 3 ✆Si el tercer t´ermino de una progresi´on geom´etrica es 5 y el sexto t´ermino es -40, hallar el octavo
✝
t´ermino.
Soluci´on:
Tenemos a3 = 5 y a6 = −40.Si sustituimos por n=3 y n=6 en la f´ormula an = a1 · rn−1 obtendremos el
sistema:
5 = a1 r 2
−40 = a1 r5
Como r = 0, despejamos en la primera ecuaci´on y: a1 =

5
.
r2

Susitituimos en la segunda ecuaci´on a a1 ,
−40 =

5
r2

· r5 = 5r3 .

Por tanto, r3 = −8 y r = −2. con este valor encontramos a1 , sustituyendo adecuadamente.
a1 = 54 .
De aqui el trabajo de encontrar a8 esmeramente mec´anico.
a8 = a1 · r7 = 54 (−2)7 = −160
✞

☎

Ejemplo 4 ✆El sexto t´ermino de una progresi´on geom´etrica es
✝
Soluci´on:
Aqui, a6 =

1
16

y r = 12 .

Despejando en la f´ormula a6 = a1 · r5
a1 =

a6
,
r5

1
16

y la raz´on 12 . Hallar el primer t´ermino.

Progresiones Geom´etricas

a1 =
✞

1
16
1 5
(2)

3

= 2. As´ı a1 = 2.
☎

Ejemplo 5 ✆El 1ert´ermino de una progresi´on geom´etrica es 3 y el 6to t´ermino -729. Hallar la raz´on.
✝
Soluci´on:
Aqu´ı, a1 = 3 y a6 = −729, encontraremos r despejando simplemente de la f´ormula,
a6 = a1 · r 5 .
r5 =

a6
a1

=

−729
3

= −243. Asi r5 = −243, o equivalentemente r =

√
5
−243 y finalmente r = −3.

Ejercicios No 1
Escribir los primeros tres t´erminos de la P.G. para lo cual:1. a1 = 11 y r = 3.

R/11, 33, 99.

2. a1 = −5 y r = 2.
3. a1 =

3
2

y r = 32 .

4. a1 = 3 y r = − 32 .
5. a1 = −5 y r = − 25 .
6. a1 = b y r = c.
Hallar:
1. 7mo t´ermino de la P. G.: 3, 6, 12,...

R/a7 = 192.

2. 8vo t´ermino de la P. G.: 13 , 1, 3...
3. 9no t´ermino de la P. G.: 8, 4, 2, ...
4
, ...
4. 6to t´ermino de la P. G.: 1, 25 , 25

5. 8vo t´ermino de la P.G.: 2 14 , 3, ...
6. 6to t´ermino de la P. G.: -3, 6, -12, ....
7. 8vo t´ermino de la P. G.: 16, -4, 1,...
8. 4to t´ermino de la P. G.: 56 , 12 , ...

R/a4 =

9
.
50

9. 5to t´ermino de la P. G.: − 35 , 32 , − 15
, ...
4
1
, ...
10. 10mo t´ermino de la P. G.: − 34 , − 14 , − 12

11. el primer t´ermino si la raz´on de una P.G. es

1
2

y el 7mo t´ermino

12. el primer...