Tecnicas Derivacion Cr 1

Teoremas sobre derivadas

 −1
1. f (x) =



si

x<0

x − 1 si

x≥0

19

xo = 0

2. f (x) = |x − 3|, xo = 3
a. Determine si f es continua en xo .
b. Halle f+ (xo ) y f− (xo ).
c. Determine si f es derivable en xo .
d. Haga la representaci´on gr´afica.

2.1.5

Teoremas sobre derivadas

Aunque dada la ecuaci´on de una funci´on es posible obtener su respectiva funci´on derivada utilizando ladefinici´on,
para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar
este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.
Teorema 1
La derivada de una funci´on constante es cero.
Prueba:
Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 1

1. Si f (x) = 8 entonces f (x) = 0.
√
2. Si f (x) = 5 2 entonces f (x) = 0.
3. Si f (x) =

4√5+ 2

entonces f (x) = 0.

Teorema 2
Si f (x) = x entonces f es derivable sobre R y Dx f (x) = Dx x = 1.
Prueba:
Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 2

1. Dy y = 1
2. Dn n = 1
3. Dt t = 1

20

Cap´ıtulo 2: Derivadas
Teorema 3

Si f (x) = xn con n ∈ Q y x pertenece al conjunto A en el que xn est´a bien definida, entonces f es derivable
en A y Dx xn = n xn−1 .
Prueba:
Al final del cap´ıtulo.Ejemplo 3
1. Si f (x) = x2 entonces f (x) = 2x2−1 = 2x1 = 2x.
2. Si f (x) = x5 entonces f (x) = 5x5−1 = 5x4 .
3. Dx x−3 = −3x−3−1 = −3x−4 .
4. Dx
5. Dx

1
x5

= Dx x−5 = −5x−6 .

√

1

x = Dx x 2

2

6. Dx x 3
1

8. Dx

1 1 −1
1 1 1
x 2 = x− 2 √ .
2
2
2 x

2 2 −1
2 1
x 3 = x− 3
3
3

=

7. Dx x− 4

=

=

1
√
4
x3

−1 − 1 −1
−1 − 5
x 4 =
x 4
4
4
3

= Dx x− 4

=

−3 − 7
x 4
4

Teorema 4
Si la funci´on fes derivable sobre un intervalo K y c es un n´
umero real, entonces la funci´on g para la que
g(x) = c f (x) es derivable sobre K, adem´as Dx [c f (x)] = c Dx f (x).
Prueba:
Ejercicio para el estudiante utilizando la definici´on de derivada de una funci´on.
Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una funci´on derivable, es igual al producto de la constante por laderivada de la funci´on.
Ejemplo 4
1. Si f (x) = 5x entonces f (x) = 5 Dx x = 5 · 1 = 5.
2. Si f (x) = −2x3 entonces f (x) = −2 Dx x3 = −2(3x2 ) = −6x2 .
3. Dx

2√
x
7

4. Dx

−5 −3
x
4

5. Dz 2z

−3
7

=

√
1
2
2
1
Dx x = · √ = √ .
7
7 2 x
7 x
=

=2

−5
15
· −3x−4 = 4 .
4
4x
−3 −10
·z 7
7

=

−6 −10
·z 7 .
7

Teoremas sobre derivadas

21

Teorema 5
Si f y g son dos funciones derivables sobre unintervalo K, entonces la funci´on h = f + g es derivable sobre
K y adem´as Dx [f (x) + g(x)] = Dx f (x) + Dx g(x), para x ∈ K.
Prueba:
Al final del cap´ıtulo.
Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una
de las funciones.
Tambi´en:
Dx [f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + ... + fn (x)] = Dx f1 (x) + Dx f2 (x) + Dx f3 (x) + ... + Dx fn (x)
dondef1 , f2 , ..., fn son funciones derivables sobre un intervalo K.
Ejemplo 5
1. Dx [x3 + x7 ] = Dx x3 + Dx x7 = 3x2 + 7x6 .
√
7
7
7
7 5
1
2. Dx [2x 2 + x−1 ] = Dx 2x 2 + Dx x−1 = 2Dx x 2 + Dx x−1 = 2 · x 2 − x−2 = 7 x5 − 2 .
2
x
√
1
1 −2
1
+ 6x2 + 5.
3. Dx [ 3 x + 2x3 + 5x] = Dx x 3 + Dx 2x3 + Dx 5x = x 3 + 2 · 3x2 + 5 · 1 = √
3
2
3
3 x

Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo Kentonces la funci´on f − g es derivable sobre K, y
adem´as para cualquier x ∈ K se tiene que Dx [f (x) − g(x)] = Dx f (x) − Dx g(x).

Ejemplo 6
1. Dx [5x2 − 5] = Dx 5x2 − Dx 5 = 10x − 0 = 10x.
2. Dx

√
1
1 1
3
2
− 2 + x = Dx [3x−1 − 2x−2 + x 2 ] = −3x−2 + 4x−3 + x− 2
x x
2

Teorema 6
Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo K entonces la funci´on H = f · g es derivable sobre K, y
adem´as paracualquier x ∈ K se tiene que Dx [f (x) · g(x)] = f (x)Dx g(x) + g(x)Dx f (x).
Prueba:
Al final del cap´ıtulo.
Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera funci´on por la
derivada de la segunda, m´as el producto de la segunda funci´on por la derivada de la primera.

Ejemplo 7

22

Cap´ıtulo 2: Derivadas
√
√
√
√
1. Dx [ 3 x(2x2 + x)] = 3 xDx...