tecnico informatico

CURSO DE METODOS NUMERICOS

SEGUN DA PART E

SOLUCION APROXIMADA DE
ECUACIONES DE UNA VARIABLE

V. Muto

Ecuaciones de una variable: Preliminares

—

Cap. V

CAPITULO V. SOLUCION APROXIMADA DE ECUACIONES
DE UNA VARIABLE: PRELIMINARES
1. SEPARACION DE RAICES
En esta segunda parte analizaremos uno de los problemas b´sicos del an´lisis num´a
a
e
rico: el problema de b´ squedade ra´
u
ıces.
Si una ecuaci´n algebr´ica o trascendente es relativamente complicada, no resulta
o
a
posible por lo general hallar ra´
ıces exactas. Es m´s, en algunos casos las ecuaciones
a
tienen coeficientes conocidos s´lo de forma aproximada, y por tanto, carece de sentido
o
tratar de hallar las ra´
ıces exactas de la ecuaci´n. Por consiguiente, adquieren particular
o
importancialos procedimientos de c´lculo aproximado de ra´ de una ecuaci´n as´ como
a
ıces
o
ı
la estimaci´n de su grado de exactitud.
o
El problema consiste en encontrar los valores de la variable x que satisfacen la
ecuaci´n
o
f (x) = 0 ,

(V.1)

para una funci´n f dada, que est´ definida y es continua en un cierto intervalo finito o
o
a
infinito a < x < b. En ciertos casos se necesitar´la existencia y continuidad de la primera
a
derivada f (x) e incluso de la segunda derivada f (x).
A una soluci´n de este problema, es decir a todo valor p para el cual la funci´n f (x)
o
o
es cero, se le llama cero de la funci´n f (x) o una ra´ de f (x) = 0.
o
ız
Supondremos que la ecuaci´n (V.1) tiene unicamente ra´ separadas, es decir, para
o
´
ıces
cada ra´ existe un entorno que nocontiene otras ra´
ız
ıces de la ecuaci´n.
o
El c´lculo aproximado de las ra´ reales separadas de (V.1) se efect´a por lo general
a
ıces
u
en dos etapas:
(a) separaci´n de ra´
o
ıces, es decir, establecer los intervalos m´s peque˜os posibles
a
n
[α, β] que contengan una y solamente una ra´ de la ecuaci´n (V.1);
ız
o
(b) mejorar los valores de las ra´
ıces aproximadas, es decir,manipularlos hasta que
presenten el grado de exactitud especificado.
Recordemos antes el Teorema del Valor Intermedio:
Si f ∈ C[a, b] y K es un n´mero cualquiera entre f (a) y f (b), entonces existe c en
u
(a, b) tal que f (c) = K.
Y un Corolario de ese Teorema:
Corolario V.1
Si f ∈ C[a, b] asume valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo [α, β],
es decir, f (α) · f (β) < 0,entonces el intervalo contendr´ al menos una ra´ de la ecuaci´n
a
ız
o
f (x) = 0; en otras palabras, habr´ al menos un n´mero p ∈ (α, β) tal que f (p) = 0.
a
u
La ra´ p ser´ unica si la derivada f (x) existe y mantiene el signo dentro del intervalo
ız
a´
(α, β); esto es, si f (x) > 0 (´ f (x) < 0) para α < x < β.
o
41

V. Muto

Ecuaciones de una variable: Preliminares

—Cap. V

El proceso de separaci´n de ra´
o
ıces comienza estableciendo los signos de la funci´n
o
f (x) en los puntos extremos x = a y x = b de sus dominios de existencia. A continuaci´n
o
se determinan los signos de la funci´n f (x) para un n´mero intermedio de puntos x =
o
u
α1 , α2 , ..., cuya elecci´n depende de la peculiaridades de la funci´n f (x). Si se cumple que
o
o
f (αk ) · f(αk+1 ) < 0, entonces, en virtud del Corolario V.1, existe una ra´ de la ecuaci´n
ız
o
f (x) = 0 en el intervalo (αk , αk+1 ). Debemos asegurarnos que esta ra´ es la unica.
ız
´
En la pr´ctica suele ser suficiente, en el caso de separaci´n de ra´
a
o
ıces, efectuar el
proceso de bisecci´n (que analizaremos en m´s detalle en el pr´ximo cap´
o
a
o
ıtulo), dividiendo
aproximadamente elintervalo dado (α, β) en dos, cuatro, ocho, ..., partes iguales (hasta
un cierto intervalo) y determinar el signo de f (x) en los puntos de divisi´n. Conviene
o
recordar que en una ecuaci´n algebr´ica de grado n,
o
a
a0 xn + a1 xn−1 + ... + an = 0 ,

a0 = 0

tiene a lo sumo n ra´
ıces reales. Por consiguiente, si para una ecuaci´n de este tipo se
o
obtienen n cambios de signo (es...