Telematica

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Sucesiones y series
La catapulta se usaba como una máquina portátil lanzadora de piedra. El mecanismo de la propulsión era similar al de una ballesta. Los artilleros experimentados apuntaban y disparaban la catapulta a simple ojo. ¿Qué tipo de trayectoria del proyectil piensa que estos artilleros prefieren, una trayectoria alta y arqueada, o baja y relativamente recta? ¿Por qué?

Lospolinomios de Maclaurin aproximan una función dada en un intervalo alrededor de x = 0. A medida que se agregan términos al polinomio de Maclaurin, éste se convierte en una mejor aproximación de la función dada cerca de x = 0. En la sección 6.8, se verá que una serie de Maclaurin es equivalente a la función dada (bajo condiciones adecuadas).

Charles & Josette Lenars/Corbis

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CAPítuLo 6

Sucesiones y series

Sección 6.1

Sucesiones
En matemáticas, la palabra “sucesión” se usa en un sentido muy parecido al lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o eventos está en sucesión significa generalmente que la colección está ordenada de manera que tiene un primer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro, y asísucesivamente. Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitual de la función. Por ejemplo, en la sucesión 1, 1, a1, 1, 1, 1, 2, 2, a2, 2, 2, 2, 3, 3, a3, 3, 3, 3, 4, 4, a4, 4, 4, 4, . . ., n, . . .
Sucesión.EXPLORACIÓN

Búsqueda de patrones Describir un patrón para cada una de las sucesiones1siguientes. Después usar a) la descripción para escribir una 1, 1, 1, 1, 16, . . . 2 4 8 para b) fórmula24, 120el. término n-ésimo de 1, 1, 1, 1 1 , . . 2 6 cada1sucesión. A medida que n se 10 1 10 10 10 1 c) 10, 13, ,4,61,, 10,, 15,. . . . . a) 1, 2 1 1 16 . 8 a)incrementa,11,1 . . términos parecen 1,4 2,94, 1616¿los . 1 1 8 , 25 1 1 a)1 1, 1 8 , d) acercarse24,,,161,,. .. . .. .límite? Explique b) , 1,22,14 11 16 , a) 41,9,1,166,,,,25a, 1algún . .. .. 2 4 120 b) 1, 1,10, 81,1 36 1,10 2 1 6 1 24 120 . 1 ,1 1 ,10 ,10 , . . . 1 b) 1,12, 4 1 16 . . razonamiento. 1 a) 1,2 6 24 10 c) 10, 231 6 1124 10 , 15 b)su1, 1 ,10,, ,10,,, 1120,10,,. ... . ... .. 8 120 6 c) 10,41310 611 10,1.15. . a) 1, 2,1011,10,1610,10 . , . . . , , 1 91 110 ,10 ,1 10 110, ,4 , 8161 125 . c) 2 3 24 120 b) d)a) , 1, 9,6 8,6, 10 a) 41,1, 14 125 16, , ,.., c)a)11,4 2 ,16 ,4168,1016,.15 .. ... . 36 1 d) 10,94 10, 625,, ,25 10 , 1 2 10 10 1 1 25 1 b) 1,,9,,316,9,,24161,36,,15. ... ... 2 d) 110, 91,, ,24 25 ,. b) 41,4, ,616116,,120,,1.15,.,... .. .. c) 4, 99 16 6252436120 2 3 120 b)4 1, 16 10,62510,3610 d)b) 102 10 10 10 1010 . c) 10, 43 ,9 6 16102515,10. .. .. ,10 ,10 , d) 1,10, 10,25 ,36,,. c)c)10,9,316,16,6,10101515, . . . c) 4 9 ,3 6 25, d) 11,44,16,,9 16162525. .. .. , ,. 4, , 9 d) 9 , 25 36 d) 4 19, 416 25, 36, , . . . d) , ,
4 9 16 25 36

n, ... ... ...,,, an, . .. . .. . .. n, . . . . ., , n, n, . . . . . . . Sucesión. Sucesión. al 1 se le asigna a1, al 2 se le asigna a2,, y así sucesivamente. Losnúmeros a1, a2, a3, …, an… Sucesión. a1, a2, a3, a4, .. .. .. , an, . . . . . . Sucesión. , , , , , 1 2 3 4 n . . a1, a2, a3, a4, .. . . , an, 1,, 2,, 3, 4,, n,, son losatérminos de3,la sucesión.. .El..,número an .es.el término n-ésimo de la sucesión, y la 1 2 4 n , aa,2, aa,3, aa,4, . .. . .. , ., , aa,n, . . .. ... . Sucesión. , , , , 1 4 n a1, completa se3denota por {an}. 3 4 n sucesión1, 22Sucesión. a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . Sucesión. Sucesión. a1,, a2,, a3,, a4,, .. .. ..,, an,, .. .. .. a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . a a a a a

EJEMPLO 1 Dar los términos de una sucesión

1

2

3

4

n

NotA De vez en cuando, es conveniente empezar una sucesión con a0, para que los términos de la sucesión sean a0, a1, a2, a3, . . . an, . . .

1 1, la 1 2, 3 13 3 14 a)...