Tema 2

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

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Ecuaciones de orden superior
En general, para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n, se debe resolver
una ecuación polinomial de grado n:

an r n  an1r n1 

 a2 r 2  a1r  a0  0

Si todas las raíces de esta ecuación son reales y distintas, la solución general de la ecuación
diferencial es

y  c1er1x  c2er2x 

 cnern x

Por otra parte cuando r1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de grado n (esto
es, k raíces son iguales a r1 ), las soluciones linealmente independientes son

er1x , xer1x , x2er1x ,

, xk 1er1x

y la solución general deberá contener la combinación lineal
c1er1x  c2 xer1x  c3 x 2er1x 

 ck x k 1er1x

Ejemplo 2.5. Resolver la ecuación y ''' 5 y '' 3 y ' 9y  0 .
Solución: la ecuación auxiliar es:
r 3  5r 2  3r  9  0

De acuerdo con lo estudiado al respecto de las ecuaciones polinomiales (el coeficiente principal es
la unidad y el término independiente es 9), si esta ecuación tiene raíces racionales, cada una de estas
debe ser un entero divisor de 9. Al hacer las divisiones sintéticas obtenemos que una raíz es r1  1 .
Al hacer la divisiónsintética se obtiene:
r 3  5r 2  3r  9   r  1  r 2  6r  9    r  1 r  3

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Así que las raíces de la ecuación auxiliar son r1  1 y r2  r3  3 . Por lo tanto, la solución general
de la ecuación diferencial dada es:

y  c1e3 x  c2 xe3 x  c3e x

Ejemplo 2.6

Resolver el problema de valor inicial:
y ''' 2 y '' 5 y ' 6 y  0, _ y(0)  y '(0)  0, y ''(0)  1

Solución: laecuación auxiliar es r 3  2r 2  5r  6  0 , cuyas raíces son r1  3 , r2  1 y r3  2 ,
así que la solución general de la ecuación diferencial es:

y  c1e3 x  c2e x  c3e2 x
La primera y segunda derivadas de esta función son:

y '  3c1e3 x  c2e x  2c3e2 x
y ''  9c1e3 x  c2e x  4c3e2 x

(7k)

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Ma. del Carmen Hernández, Ismael Arcos. Ecuaciones Diferenciales. Guía del estudianteAsí pues, al considerar las condiciones iniciales del problema, se obtiene el sistema de ecuaciones
lineales:
c1  c2  c3  0
3c1  c2  2c3  0
9c1  c2  4c3  1

Cuya solución es:
c1 

1
1
1
, c2   y c3 
10
6
15

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es:

y

1 3 x 1  x 1 2 x
e  e  e
10
6
15

EJERCICIOS
Resolver cada una de las ecuaciones dadas.
2.17.

y  4 y ''5 y  0

2.18.

y  y  0

2.19.

y  5 y '' 3 y  9 y  0

2.4 Ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes. Obtención de una solución
particular.
2.4.1

Coeficientes indeterminados (método de superposición)

La ecuación lineal no homogénea de orden n con coeficientes constantes tiene la forma
an y ( n)  an1 y

n 1

 ...  a2 y '' a1 y ' ao y  g ( x)

(8a)

Unasolución general de la ecuación (8a) tiene la forma
y( x)  yc ( x)  y p ( x)

(8b)

donde yc ( x) se conoce como función complementaria y es una solución general de la ecuación
homogénea asociada de (8a):
an y ( n)  an1 y 

n 1

 ...  a2 y '' a1 y ' ao y  0

(8c)

y la función y p ( x) se conoce como solución particular de la ecuación (8a).
El método de coeficientes indeterminados es unamanera directa de obtener y p ( x) cuando la
función dada g ( x) en la ecuación (8a) es lo bastante sencilla para que se pueda hacer una
superposición de la forma general de y p ( x) .

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

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Es decir, si y pi representa una solución particular de la ecuación diferencial, donde i  1,2,..., k ,
entonces
y p ( x)  y p1 ( x)  y p2 ( x)  ...  y pk( x)

(8d)

Este método está limitado a ecuaciones lineales no homogéneas como la ecuación (8a), donde:
 Los coeficientes ai , i  0,1,2,..., n son constantes


g ( x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial e x , funciones
seno o coseno como sen x , cos x , o sumas y productos finitos de esas funciones.

Ejemplos de las clases de funciones g ( x) :

g ( x)  8...