Tema de ensayo

Bolet´ de la Asociaci´n Matem´tica Venezolana Vol. VI, No. 1 (1999) ın o a

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Grupos Cristalogr´ficos Planos. a
Francisco Rivero Mendoza
Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes lico@ciens.ula.ve

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¿Qu´ son las simetr´ e ıas? ¿Qu´ es la belleza? e

En verdad, la mayor´ de los hombres y las mujeres somos sensibles hacia la ıa belleza de lasformas. Generalmente se dice que una cosa es bella cuando despierta en nosotros sentimientos agradables. El concepto de la belleza ha sido una preocupaci´n para muchos fil´sofos, desde la antig¨ edad hasta nuestros o o u d´ ıas. As´ pues en el di´logo Hipias de Plat´n se desarrolla una conversaci´n ı a o o muy interesante entre S´crates e Hipias, cuya finalidad es la de establecer una o definici´n de quees lo bello. Despu´s de varias definiciones de lo bello; como o e por ejemplo lo bello es lo util o lo bello es lo apropiado a cada cosa, se llega por ´ fin a esta definici´n: lo bello es lo que nos deleita haciendo de medianeros o´ o ıdos y vista. Pero de acuerdo al mismo Plat´n existen otras cualidades de los seres, o distintas a la belleza, como por ejemplo lo perfecto, lo mesurado, ... etc. quevienen dados en la siguiente escala de valores (Filebo, Plat´n trad. Juan Garc´ o ıa Bacca (1981)) 1. La medida-mesura 2. Lo conmensurado, mesurado y medido, lo bello, lo perfecto, lo suficiente. 3. La inteligencia y la sensatez. 4. Las Ciencias, Artes y opiniones correctas 5. Los deleites inofensivos y puros. Vemos, pues, como los griegos antepon´ el concepto de Medida al de la ıan Belleza. Por lotanto toda cosa que tenga medida (con mesura) es Bella, como por ejemplo la circunferencia, los pol´ ıgonos regulares, los s´lidos regulares, ... o etc. Seg´ n Arist´teles, lo Bello esta presente en muchos objetos matem´ticos u o a (Metaf´ ısica) y para caracterizar esta belleza, se utiliza el orden, la simetr´ y la ıa limitaci´n. o

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Asociaci´n Matem´tica Venezolana o a

De acuerdo alpensamiento griego, el estudio de la simetr´ proporciona eleıa mentos claves para describir la belleza de los objetos. Un cuerpo tiene simetr´ ıa cuando hay cierta regularidad en su conformaci´n desde el punto de vista de la o medida. La palabra simetr´ quiere decir con medida, desde el punto de vista ıa etimol´gico. o As´ pues, la circunferencia tiene simetr´ pues sus puntos est´n todos a la ııa, a misma distancia del centro, y esta regularidad de todas sus partes es lo que la hace ser sim´trica. Un rect´ngulo tambi´n posee simetr´ pero de un tipo e a e ıa, distinto al de la circunferencia: los lados opuestos del rect´ngulo tienen la misma a medida. En la circunferencia, cualquier l´ ınea o eje que pase por su centro, la divide en dos partes exactamente iguales. Este tipo de simetr´llamada ıa, simetr´ de reflexi´n, tambi´n la tiene el rect´ngulo pero en menor grado. Si un ıa o e a eje paralelo a algunos de los lados pasa por el centro del rect´ngulo, entonces a lo divide en dos partes iguales. Pero cualquier eje que pase por el centro, no paralelo a los lados, no divide al rect´ngulo en dos partes iguales. Por lo tanto el a rect´ngulo posee s´lo dos simetr´ de reflexi´n, mientrasque la circunferencia a o ıas o posee infinitas de este tipo. Esto nos sugiere que la circunferencia posee m´s a simetr´ que el rect´ngulo, lo cual es cierto, como veremos m´s adelante, al ıas a a estudiar las simetr´ en detalle. ıas El cuerpo humano tambi´n tiene simetr´ de reflexi´n, pues un plano lone ıa o gitudinal lo corta en dos partes iguales. Esta simetr´ de reflexi´n, hace que ıa o cada partedel lado derecho, tenga su sim´trico del lado izquierdo: brazos, ojos, e manos, ... etc. Adem´s los ojos est´n situados a la misma distancia del plano, a a e igualmente las orejas y todas las dem´s partes. El arte primitivo, rom´nico, a a g´tico, ... etc. posee gran cantidad de simetr´ en sus figuras. Tambi´n en la o ıa e arquitectura predominan las simetr´ de reflexi´n. El arte occidental a...