Tema3

An´alisis Matem´atico II. Curso 2009/2010.
Diplomatura en Estad´ıstica/Ing. T´ec. en Inf. de Gesti´on. Universidad de Ja´en

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARITEMA 3. DIFERENCIACION
ABLES

1.

Derivadas parciales

Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funci´on de
varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el
proceso de derivaci´on parcial.
´ n 1.1(Derivadas parciales de una funcio
´ n de dos variDefinicio
ables). Si z = f (x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a
las variables x e y son las funciones definidas como
∂z
∂f
f (x + h, y) − f (x, y)
=
(x, y) = fx (x, y) := l´ım
,
h→0
∂x
∂x
h
∂f
f (x, y + h) − f (x, y)
∂z
=
(x, y) = fy (x, y) := l´ım
,
h→0
∂y
∂y
h
siempre y cuando el l´ımite exista.
´ n 1.1. La definici´on indicaque para calcular ∂f
Observacio
se considera
∂x
∂f
y constante derivando con respecto a x y para calcular ∂y se considera x
constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas
usuales de derivaci´on.
Ejemplo 1.1.
3x3 y 4 .

1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y) = yx2 +

2. Dada f (x, y) = xex

1.1.

2y

hallar fx , fy y evaluarlas en (1, ln(2)).

Interpretaci´
ongeom´
etrica de las derivadas parciales

Si y = y0 entonces z = f (x, y0 ) representa la curva intersecci´on de la
superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 . Por tanto
fx (x0 , y0 ) = pendiente de la curva intersecci´
on en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

An´alogamente, f (x0 , y) es la curva intersecci´on de
z = f (x, y) (superficie)
x = x0
(plano)
y entonces
fy (x0 , y0 ) = pendiente de la curvaintersecci´
on en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ) denotan las pendientes de
∂x
∂y
la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.
Diremos que los valores

Ejemplo 1.2. Hallar las pendientes en las direcciones de x e y de la superficie
dada por f (x, y) = 1 − x2 y + xy 3 en el punto (1,2,7).
Las derivadas parciales tambi´en se pueden interpretar como tasas,velocidades o ritmos de cambio.
Ejemplo 1.3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es
T (x, y) = 500 − 0.6x2 − 1.5y 2 , donde x e y se miden en metros. En el punto
(2, 3) hallar el ritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia
recorrida en las direcciones de los ejes X e Y .
Ejercicio 1.1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y, z, w) =

1.2.

xy+yz+xz
.
w

Derivadasparciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas,
terceras... derivadas parciales de una funci´on de varias variables, siempre que
tales derivadas existan.
Por ejemplo la funci´on z = f (x, y) tiene las siguientes derivadas parciales
de segundo orden:
fxx

∂2f
∂
=
=
∂x2
∂x

∂f
∂x

(Derivar dos veces respecto a x)

fxy =

∂2f
∂
=
∂y∂x
∂y

∂f
∂x(Derivar respecto a x, luego respecto a y)

fyx =

∂2f
∂
=
∂x∂y
∂x

∂f
∂y

(Derivar respecto a y, luego respecto a x)
2

fyy =

∂
∂2f
=
∂y 2
∂y

∂f
∂y

(Derivar dos veces respecto a y)

Ejemplo 1.4. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) =
3x2 y + xy 3 − 2x. Determinar el valor de fx,y (1, 2).
Teorema 1.1 (Igualdad de las derivadas parciales mixtas). Si
f (x, y) es tal quefxy y fyx existen y son continuas en un disco abierto D
entonces
fxy (x, y) = fyx (x, y) ∀(x, y) ∈ D.
Ejemplo 1.5. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) =
xey + sen(xy). Comprobar que las derivadas parciales mixtas coinciden.

2.

Diferenciaci´
on de funciones de dos variables
Para una funci´on de una variable f (x) se define la derivada como
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
Estoquiere decir que para h peque˜
no
f (a) := l´ım

f (a + h) − f (a)
⇐⇒ f (a + h) ≈ f (a) + f (a)h
h
y por tanto la recta tangente es una buena aproximaci´on de la funci´on f
cerca del punto a.
Llamando ε(h) = f (a + h) − f (a) − f (a)h se cumple que
f (a) ≈

f (a + h) − f (a) = f (a)h + ε(h) donde

|ε(h)|
= 0.
h→0 |h|
l´ım

´ n 2.1. Supongamos ahora que f (x, y) es una funci´on de 2 variDefinicio...