TEMA7 SOLUCIONARIO 3ESO PITÁGORAS SM

7

Expresiones fraccionarias y radicales
ACTIVIDADES INICIALES

7.I.

Has visto que la meteorología es un sistema caótico. También lo es el recorrido de un
objeto que baja por un río. Piensa en otros dos sistemas caóticos y ponlos en común
con tus compañeros.
Actividad abierta

7.II.

Construid en clase varios dobles péndulos con ayuda de vuestro profesor, utilizando
cuerda, unos bolígrafos y unpoco de plastilina. Colocadlos todos en la misma posición
inicial y dejadlos oscilar a la vez. Fijaos bien en su comportamiento. ¿Qué observáis?
Discutidlo en clase.
Actividad abierta

7.III. El descubrimiento de la teoría del caos se atribuye a Edward Lorenz, un famoso
meteorólogo. En www.e-sm.net/3esoz34 tienes una lectura sobre sus descubrimientos.
Léela y elabora un resumen escrito de loshallazgos de Lorenz.
Actividad abierta

ACTIVIDADES PROPUESTAS

7.1.

Actividad resuelta

7.2.

(TIC) Halla el valor numérico de la fracción
Para 2:

Para 0:
Para 4:

7.3.

2 2 − 7 ⋅ 2 + 10
2

2 −6⋅2+8
0 2 − 7 ⋅ 0 + 10
2

0 − 6⋅0 + 8
4 2 − 7 ⋅ 4 + 10
2

4 −6⋅4+8

x 2 − 7 x + 10
para los valores 2, 0 y 4.
x 2 − 6x + 8

=

0
. Indeterminado.
0

=

10 5
= .
8
4

=

−2
. No existe valor numérico.
0Indica para qué valores de x existe el valor numérico de estas fracciones.
a) R ( x ) =

x2 − 5x + 6
x−4

b) S ( x ) =

x2 − 9
x −3

a) El denominador se anula para x = 4. Para este valor, el numerador vale 42 – 5 · 4 + 6 = 2. No
tiene valor numérico para x = 4.
b) El denominador se anula para x = 3. Para este valor, el numerador vale 32 – 9 = 0. Así que el
valor de la fracción algebraica para x = 3 esindeterminado.

18

Unidad 7 | Expresiones fraccionarias y radicales

7.4.

¿Es x 2 + 2 x +

1
una fracción algebraica?
4

1 4x 2 + 8x + 1
=
, donde el numerador es un polinomio y el denominador es
4
4
un polinomio de grado 0 no nulo.

Sí, porque x 2 + 2 x +

7.5.

x2
= x . Sin embargo, el valor numérico de la primera
x
expresión no existe en x = 0, y el de la segunda sí.
¿Sabrías explicar porqué?

En la unidad anterior viste que

La primera expresión no existe en x = 0, porque no se puede dividir entre 0, y el valor de la
segunda expresión en x = 0 es 0.
7.6.

Escribe una fracción algebraica que esté determinada en todos los puntos salvo en x = 1 y
en x = −3.
Para que no esté determinada en x = 1 ni en x = −3, el denominador tiene que tener los factores
( x − 1)( x + 3 ) = x 2 + 2x − 3, y el numerador puede ser cualquier polinomio, por ejemplo, 2x + 4 .

R(x) =

2x + 4
x + 2x − 3
2

7.7.

Actividad interactiva

7.8.

Actividad resuelta

7.9.

Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones

x +1
x2 − 1
y
.
x
x2 − x
Dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos.
De modo que se tiene que cumplir que (x + 1)(x2 – x) = x(x2 –1).
(x + 1)(x2 – x) = x3 – x2 + x2 – 1 = x3 – 1
x(x2 – 1) = x3 – 1
Las fracciones dadas son equivalentes.

7.10. Escribe tres fracciones equivalentes a
a)

a)
b)

x −2
x

b)

x+1
x2 − 1

2
3
x 2 − 2x x ( x − 2) x ( x − 2)
x −2
,
,
es equivalente a
.
x
x2
x3
x4

x+1
2

x −1

=

x +1
1
x
x+3
, 2
,
es equivalente a
.
( x + 1)( x − 1)
x − 1 x − x ( x − 1)( x + 3)

Unidad 7 | Expresiones fraccionarias yradicales 19

7.11. (TIC) Simplifica las siguientes fracciones.
a)

a)

x2 + 1

b)

x4 − 1
x2 + 1
4

x −1

=

(x

x2 +1
2

)(

2

)

+1 x −1

=

x 2 − 6x + 5
x 2 − 8 x + 15

1
2

x −1

b) Factorizando cada una de sus partes tenemos que

7.12. Simplifica la fracción

x3 − 1
x2 − 1

x 2 − 6x + 5
2

x − 8 x + 15

=

(x − 1)(x − 5) =
(x − 3)(x − 5)

y calcula su valor numérico para x = 2.Factorizamos numerador y denominador:

x3 − 1
2

x −1

=

(x − 1)(x 2 + x + 1) =
(x − 1)(x + 1)

x2 + x +1
.
x +1

2 + 2 +1 7
=
2 +1
3
2

Si x = 1,

7.13. Observa la figura.

x2 + x

x+1

a) ¿Cuántos cuadrados pequeños caben dentro del cuadrado grande?
b) ¿Cabrá siempre un número entero de cuadrados, sea cual sea x?
x 2 + x x ( x + 1)
=
= x , cabrán x2 cuadrados pequeños dentro del cuadrado grande.
x +1
x...