Tema9

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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PARA EMPEZAR…
▼ Cónicas anteriores a Apolonio
■

Observa estos conos, similares a los de arriba, pero no ordenados de igual manera:

r
r>h

r=h

¿Qué cónica obtendrías en cada caso si las cortases con un plano perpendicular a
la generatriz? Puedes experimentarlo construyendo conos de plastilina y cortándolos con un cuchillo oun cúter.
Con el primer cono, r < h, se obtendría una elipse.
Con el segundo cono, r > h, se obtendría una hipérbola.
Con el tercer cono, r = h, se obtendría una parábola.
■

Compara estas definiciones con las de la página 178.

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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^

^

^

^

^

^

1 Di cuáles de los ángulos A, B, C, D, Ey F están inscritos en la correspondiente
circunferencia.
ì

B
ì

ì

F

ì

A

ì

D

ì

C

E

^ ^

^

Están inscritos en la circunferencia los ángulos A, F y D, ya que son los únicos que tienen
el vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.
2 Di, razonadamente, el valor de estos ángulos:

F

FAC, ACF, AFC, FBD, BDE, DEF, BFE
La circunferencia está dividida en 6 arcos iguales.

A

E

BD

La medida de cada uno de ellos es 360° = 60°.
6

C

FAC = 3 · 60° = 90°
2

ACF = 60° = 30°
2

AFC = 2 · 60° = 60°
2

FBD = 2 · 60° = 60°
2

BDE = 3 · 60° = 90°
2

DEF = 4 · 60° = 120°
2

BFE = 3 · 60° = 90°
2

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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F
E

3 ¿Cuál es la medida angular de cada uno de los ocho arcos
iguales enque se ha dividido la circunferencia? Di el valor
de los ángulos ABC, ACB, FDE, DEF, DFG, FGD.

G
B

A
D
C

La medida angular de cada uno de los ocho arcos iguales en que se ha dividido la
circunferencia es 360° = 45°.
8
ABC = 2 · 45° = 45°
2

DFG = 4 · 45° = 90°
2

ACB = 4 · 45° = 90°
2

FDE = 45° = 22° 30'
2

FGD = 3 · 45° = 67° 30'
2

DEF = 5 · 45° = 112° 30'
2

4 Halla:
a) CAD =

1

b) ADB =2

A
C

1

40°

100°

c) ADV
d) AVD = a

2

a

D

B

a) CAD =

1

= 40° = 20°
2

b) ADB =

2

= 100° = 50°
2

c) ADV = 180° –

2

= 180° – 50° = 130°

d) AVD = 180° –

1

– 130° = 180° – 20° – 130° = 30°

V

AB = 100°
CD = 40°

5 ¿Cuál es la medida angular de cada uno de los diez arcos iguales? Halla el valor de los ángulos CAB, ABC, BCA, CAD,
ADC, ACD.
La medida angular de cada uno de los diezarcos iguales en que se
ha dividido la circunferencia es 360° = 36°.
10

B
C

A

CAB = 36° = 18°
2

CAD = 3 · 36° = 54°
2

ABC = 180° = 90°
2

ADC = 180° = 90°
2

BCA = 4 · 36° = 72°
2

ACD = 2 · 36° = 36°
2

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

D

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
6 Halla:
a) CBD =

1

b) ADB =

2

C
a

100°

V

1

c) BVD

1

2

40°
D

B

d) AVB = a
a) CBD =Pág. 2

A

= 40° = 20°
2

c) BVD = 180° –

1

–

2

b) ADB =

= 180° – 20° – 50° = 110°

d) AVB = a = 180° – 110° = 70°

Unidad 9. Problemas métricos en el plano

2

= 100° = 50°
2

AB = 100°
CD = 40°

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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1 Repite el razonamiento del ejercicio resuelto, pero suponiendo ahora que el lado del
pentágono mide 12 cm. ¿Cuánto mide sudiagonal?
A
A
1'

1

12

D

2'

d

E
2

B

A

C

B

12

d

12

E

D

d – 12

C

d = 12
8 d 2 – 12d = 144 8 d = 6 + 6 √5 = 19,4 cm
12 d – 12
2 Prueba que los triángulos ABC y EFD del pentágono de arriba son semejantes.
A partir de esa semejanza, vuelve a obtener la relación entre d y l.
A

= 1' porque están inscritos en la circunferencia y abarcan
arcos iguales.
1

1

B

E
F

C

2'

por el mismo motivo.Por tanto, los triángulos ABC y EFD son semejantes y sus
lados son proporcionales.

2'

2

=

2

1'

D

Tomamos como unidad el lado del pentágono, l = 1. Además, EF = FD = d – 1.
A
1
B

d–1
d

1

F

1

d–1
C

AB = AC 8 1 = d 8 d 2 – d = 1 8 d 2 – d – 1 = 0
d–1 1
EF DE

E

d = 1 ± √1 + 4 = 1 ± √5
2
2

D

Tomamos la solución positiva.
La relación pedida es: d = d = d = 1 ± √5 = 1,618…
l 1
2...

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