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CASO 1 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN

(Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)

El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 -6x5)

9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)

36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2)

4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)

12x2 + 18x3 - 24x5 + 30x4 - 6x8 = 6x2. (2 + 3x - 4x3 + 5x2 - x6)


CASO 2 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN EN GRUPOS

4a + 4b + xa + xb =4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =

(4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos manerasposibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos.

CASO 3 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 3
2.3.x
6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto delprimero por el segundo"). Dio igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

x2 - 10x + 25 = (x - 5)2

x (-5)
2.(-5).x
-10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto da bien. Elresultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.
CASO 4 DE FACTORIZACIÓN CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

(Todos los términos son positivos)

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x


Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

(Con términos negativos)

x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3

x -3
3.x2.(-3) 3.x.(-3)2
-9x2 27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x -3)3

CASO 5 DE FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS

(Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x 3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

(Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3 2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6(Con términos "compuestos")

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

6x a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

x2 - y2 = (x + y).(x - y)

b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)

x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

25 – 36m4 (5 + 6m2) (5 – 6m2)

100 – m2 n6 (10 + mn3) (10 –mn3)

X2Y4Z6 – 144 = ( XY2Z3 + 12) ( XY2Z3 - 12)

CASO 6 DE FACTORIZACIÓN SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

(Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x 2

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de...