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Apuntes de Teor´a de la Medida ı
Dpto. de Matem´ticas. Univ. de Extremadura a 23 de enero de 2012

´ Indice general
1. Medida 1.1. Introducci´n Hist´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.2. σ–´lgebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 1.2.1. Anillos, Algebras y σ–´lgebras. . . . . . . . . . a 1.2.2. σ–´lgebra de B´rel. . . . . . . . . . . . . . . . . a o 1.2.3.Clases mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Definici´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . o 1.3.2. Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Propiedades de haz en los espacios de medida. 1.4. Extensi´n de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4.1. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . .. . . 1.4.2. Teoremas de extensi´n de medidas . . . . . . . o 1.4.3. Aproximaci´n de medibles . . . . . . . . . . . . o 1.5. Compleci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6. Medidas de Lebesgue–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Medidas de Lebesgue–Stieltjes en R. . . . . . . 1.6.2. Medidas de Lebesgue–Stieltjes en Rn . . . . . . 1.6.3. Propiedades de la medida deLebesgue. . . . . 1.6.4. Regularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. El conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . 1.7. Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Medidas exteriores m´tricas . . . . . . . . . . . e 1.7.2. Las medidas de Borel Hp . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Medidas de Hausdorff en Rn . . . . .. . . . . . 1.8. Bibliograf´ y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 4 6 10 13 13 16 18 22 22 25 27 30 33 33 38 44 46 49 51 53 53 55 57 60

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´ INDICE GENERAL 69 69 70 70 73 75 76 79 79 81 84 84 87 87 91 94 97 102 107

2. Integraci´n o 2.1. Introducci´n hist´rica . .. . . . . . . . . . . . . . . . o o 2.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Propiedades de las funciones medibles . . . . . 2.2.2. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Operaciones b´sicas de las funciones medibles. a 2.2.4. Existencia de Lebesgue medibles no de Borel. . 2.3. Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.3.1.Integral de funciones medibles . . . . . . . . . . 2.3.2. Propiedades b´sicas de la integral. . . . . . . . a 2.4. Teoremas b´sicos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . a o 2.4.1. Teorema de la carga . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Teorema convergencia mon´tona . . . . . . . . o 2.4.3. Integral de una suma . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Teorema de la convergencia dominada. . . . . .2.4.5. Dependencia de un par´metro. . . . . . . . . . a 2.4.6. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. Integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . 2.5. Bibliograf´ y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 3. Espacio de medida producto 3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Producto finito de espacios medibles . . . . . . . . . 3.3. Medidaproducto de dos espacios . . . . . . . . . . . 3.3.1. Medidas de transici´n . . . . . . . . . . . . . o 3.4. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Teorema de Fubini para dos espacios . . . . . 3.5. Compleci´n de la medida producto . . . . . . . . . . o 3.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Medida en la esfera invariante por rotaciones 3.6.2.Convoluci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.7. Producto de mas de dos espacios . . . . . . . . . . . 3.7.1. Producto de n espacios medibles. . . . . . . . 3.7.2. Producto de infinitos espacios medibles. . . . 3.8. Bibliograf´ y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . .

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