Teoría De Conjuntos En Z

TEORÍA DE CONJUNTOS CON ENFOQUE EN Z
En la notación Z, hay muchas formas de definir un objeto: Por una declaración, por abreviación o por axioma. Adicionalmente, hay mecanismos especiales para free types y esquemas.
La forma más fácil es a través de la declaración:
* Si el objeto es un conjunto dado o un tipo básico, entonces se hace escribiendo su nombre entre brackets de la forma:[<nombre tipo>].
* Si el objeto es una variable, entonces le asignamos el nombre, de un conjunto que viene. x: A introduce una variable x, del tipo del conjunto A. Si el tipo del conjunto no es del tipo de los enteros (Z), entonces este debe ser definido en otra parte en la especificación.
Abreviación:
* Asocia un objeto existente y establece que los 2 son iguales. Por ejemplo, Symbol ==term, introduce un nuevo nombre para term, con el mismo tipo y valor, siendo term un objeto matemático que debe ser definido en otra parte de la especificación. Ingles = = {p: Persona | p bebe te ^ p consume azúcar}. Donde Persona es un tipo básico, se representa una abreviación para el conjunto de todas las personas quienes consumen azúcar en té.
Axioma:
* Incluye una restricción sobre elobjeto que está siendo introducido Tal definición es dicha a ser axiomática, la cual toma la forma de:
Declaración
│------------------------
Predicado: Expresa las restricciones sobre el objeto(s) introducido en Declaración.
RELACIONES
Se pueden definir relaciones que expresan enlaces entre cualquier número finito de objetos. Una de esas relaciones son la RelacionesBinarias, que son relaciones que expresan enlacen entre pares de objetos. Si X y Y son conjuntos, entonces X ↔ Y denota el conjunto de todas las relaciones entre X y Y que se puede definir así:
X ↔ Y == ℙ (X × Y)
Si R es una relación de tipo X ↔ Y, entonces el dominio de R es el conjunto de elementos en X relacionados en algo con Y.
dom R = { x: X; y:Y | x↦y ∈ R ⦁ x}
El rango de R es el conjuntode elementos de Y a los cuales algún elemento de x está relacionado.
ran R = { x: X; y:Y | x↦y ∈ R ⦁ y}
Si A es cualquier subconjunto de X, A ◁ R denota la restricción de dominio de R a A, es decir, el conjunto de tuplas cuyo primer elemento está fuera del subconjunto A es ignorado
A ◁ R = {x:X; y:Y | x↦y ∈ R ∧ x ∈ A ⦁ x↦y }
Si B es cualquier subconjunto de Y, R ▷ B denota la restricción derango de R a B, es decir, el conjunto de pares cuyo segundo elemento está fuera del subconjunto B es ignorado
R ▷ B = {x:X; y:Y | x↦y ∈ R ∧ y ∈ B ⦁ x↦y }
Para excluir el conjunto A del dominio de una relación, se puede expresar de la siguiente manera (X ∖ A) ◁ R, sin embargo hay una forma abreviada para hacerlo: A ⩤ R, para denotar la sustracción de dominio de A en R
A ⩤ R = {x:X; y:Y | x↦y ∈R ∧ x ∉ A ⦁ x↦y }
Similarmente se puede excluir el conjunto B del rango de la relación, a través de R ⩤ B, para denotar la sustracción de rango de B en R, esto es, cada tupla cuyo segundo elemento no se está en B.
R ⩥ B = {x:X; y:Y | x↦y ∈ R ∧ y ∉ B ⦁ x↦y }
FUNCIONES
Si cada objeto de un conjunto está relacionado a lo sumo un objeto de otro conjunto, entonces la relación entre los dosconjuntos es dicha a ser una Función. Una función parcial de X a Y es una relación que mapea cada elemento de X a lo sumo un elemento de Y, y se define así:
X ⇸ Y = = {f: X ↔Y | ∀ x:X; y1,y2:Y ⦁ x↦y1 ∈ f ∧ x ↦ y2 ∈ f ⇒ y1 = y2 }
Siempre y cuando una función aparezca a relacionar un elemento de X a 2 elementos de Y, esos dos elementos deben ser iguales.
Si cada elemento de X está relacionado a algúnelemento de Y, entonces la función es dicha a ser Total, X → Y, donde:
X → Y = = {f: X ⇸ Y | dom f = X}
El dominio de una función total debe ser el completo del conjunto fuente.
Dentro de las funciones hay unas operaciones específicas que no se pueden aplicar en relaciones, como el Overriding.
Para combinar la información contenida en dos funciones, se escribe f ∪ g, sin embargo puede haber...