Teoría de conjuntos


INSTITUTO TECNOLOGICO DE ORIZABA


PROBABILIDAD Y ESTADISTICA


ING. INDUSTRIAL


Unidad II

Horario: 8:00 - 9:00 horas





TEORIA DE LA PROBABILIDAD

TEORÍA DE CONJUNTOS
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entresí, que guardan alguna característica en común.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos.Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }

SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B está contenido en A, oque B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas vecescon la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
OPERACIONES BÁSICAS CON CONJUNTOS
UNION
La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A∪ B. Esto es:


Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3,5, 7, 9} y B= {10, 11, 12}
A U B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCIÓN
La  intersección de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos de  A que también  pertenecen a  B y se denota como  A ∩ B. Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen  nada en común. Esto es:

Ejemplo: Sean A= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k} yB= {l, u, a, o, s, r, b, v, y, z}
A n B= {a, b, o, r, s, y}


COMPLEMENTO
El complemento del conjunto  A con respecto al conjunto universal  U es el conjunto de todos los  elementos de U que no están en  A y se denota como  ’A. Esto es:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A Ì U El complemento de A estará dado por: A'= {2, 4, 6, 8}



DIFERENCIA
La diferencia de los conjuntos  A y  B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a  A y no pertenecen a  B y se denota como  A \ B. Esto es:

Ejemplo: Sea A= {a, b, c, d} y B= {a, b, c, g, h, i} A \ B= {d}



PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Sean los conjuntos, A, B C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con  esos conjuntos son las siguientes:DIAGRAMAS DE ARBOL
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener encuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Ejemplo:











TECNICAS DE CONTEO

FACTORIAL DE UN NÚMERO
La función factorial (símbolo!) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
n! = n × (n-1)!
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES...