teoría de conjuntos

Teoría de Conjuntos

Definición: Entendemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que “pertenecen a un conjunto” se llama elementos del conjunto.

Notación: A los conjuntos los representamos con letras mayúsculas A, B, C, ... , y asus elementos representaremos con letras minúsculas a, b, x, ...

Relación de Pertenencia (): La relación de pertenencia es el símbolo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto:
(elemento)  (conjunto)

Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto A, escribimos:
x  A

Y leeremos “x pertenece al conjunto A”.

Si un objeto x no es elemento delconjunto A, escribiremos:
x  A

Y leeremos “x no pertenece al conjunto A”.

Determinación de un Conjunto:

Existen dos maneras de determinar un conjunto dado: por extensión y por comprensión.

a) Por extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente todos sus elementos.
Ejemplos:

B = { 1 , 3 , 5, 7, 9 }

b) Por comprensión: Un conjunto queestá determinado por comprensión cuando éste se define por medio de una propiedad la cual debe satisfacer cada uno de sus elementos.

Ejemplos:
C = { x/x es una vocal }
A = { x/x3 - 3x2 – x + 2 = 0 }

Conjuntos Numéricos:

Los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas son: los números naturales, los números enteros, los números racionales, los números irracionales, los númerosreales y los números complejos.

a) El conjunto de los números naturales: Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para realizar la operación de contar.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, .... }

b) El conjunto de los números enteros: Es el conjunto que se denota por Z y está constituido por los números naturales positivos, los números naturales negativos y el cero.

Z = { .......... -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ..........  }

c) El conjunto de los números racionales: Es el conjunto que se denota por Q y que es solución de la ecuación ax + b = 0, donde a y b son enteros, con a  0.
Se escribe:
Q = { x/ax + b = 0, a, b  Z, a  0 }
Q = { ... –b/a, .... –1, -½, 0, ½, 1, ...., b/a .... }

d) El conjunto de los números irracionales: Es el conjunto que se denota por I y estáformado por los números que no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en la forma b/a, con a, b  Z y a  0.

I = { .... , -, -, e, , .... }

e) El conjunto de los números reales: Es el conjunto denotado por R y está formado por el conjunto Q e I.

R = { .... , -, , ½, , e, , 4, 8, 9/2, .... }

f) Conjunto finito: Es el conjunto que está formado por unnúmero limitado de elementos.

A = { x/x es una vocal}
B = { x  N/s < x < 12 }

g) Conjunto infinito: Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos.

A = { x  Z/ x es impar}
B = { x/x es un número natural }
Relación entre Conjuntos:

a) Inclusión de Conjunto: (Sub-conjuntos). Se dice que el conjunto A es un subconjunto de B, o que A está contenido en B, o que A esparte de B, si todo elemento de A pertenece al conjunto B, se escribe A  B y se lee “A está incluido en B”.

A  B  {  x  A, x  A  x  B }

B A B A B


A

A  B A  B A  B

Ejemplo:

Si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B
. 2
. 4 . 3
.1 .5 .6A
. 7


b) Subconjunto propio: Diremos que A es un subconjunto propio de B o parte de B, si se verifica A  B y además existe algún xB tal que xA.

Ejemplo:
El conjunto A = {2, 4, 6} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} puesto que A  B además 1  B, 3  B, 5  B, tal que 1  A, 3  A, 5  A.

c) Igualdad de Conjuntos: Intuitivamente dos conjuntos A y B son...