TEORÍA DE ERRORES

TEORIA DE ERRORES







Fuentes
De error











Error
Final




Definiciones
Problema Matemático: Es una descripción clara de la conexión funcional entre los datos de entrada y de salida.

Problema Numérico: Es una descripción clara de la conexión funcional entre los datos numéricos de entrada y de salida. Debe implicar una cantidad finita deoperaciones elementales realizables por computadora

Método Numérico: Es un procedimiento para aproximar un problema matemático con un problema numérico.

Algoritmo: Es una descripción completa y bien definida de una cantidad finita de operaciones elementales a través de las cuales es posible transformar los datos de entrada en los datos de salida.

Error absoluto, Error relativo y cota del error
Seael valor de una cierta magnitud y sea el valor medido o calculado:





Decimales significativos
(k puede tomar el valor 1 o 0.5). Tomaremos k=0.5.
Cuando el resultado de una operación tenga más de t decimales, escribiremos este valor con t decimales solamente siguiendo la regla: si el decimal que está en el lugar t+1 es menor que 5 dejamos los t decimales del numero como están; si eldecimal de la posición t+1 es igual o mayor que 5 entonces le sumamos a nuestro valor y tomamos los primeros t decimales que quedan. Cuando realizamos este proceso decimos que nuestro resultado está escrito exactamente con sus decimales significativos.

Propagación de los errores inherentes

Supongamos que tenemos un problema numérico donde , es decir las componentes del vector X son los datosde entrada y el vector Y representa los resultados, entonces:

Supongamos que conocemos
Las operaciones que involucran al vector Y son derivables entonces desarrollando por Taylor en un entorno de tenemos:

Donde el segundo sumando indica el producto de la matriz Jacobiana por el vector que indica la variación de los datos respecto de los valores que usamos para realizar los cálculos y eltercer término es el resto del desarrollo de Taylor. Por lo tanto si

Podemos despreciar el término complementario resultando:




Propagación del error en las operaciones elementales
Suma y resta


Producto




División




Raíz Cuadrada




Diremos que una operación elemental es estable, si dada una cota para los errores inherentes relativos, los errores propagadosrelativos se mantienen acotados por un valor independiente de los datos de entrada.

Representación de números

Sistemas de numeración
Nuestro sistema de numeración es posicional. Un sistema de numeración posicional queda caracterizado por la base (B) que debe ser un numero natural mayor o igual a 2 y por un conjunto de B símbolos que determinan el” alfabeto” del sistema de numeración,debiendo representar los mismos los enteros de 0 a B-1.
En nuestro sistema decimal: B=10, y los dígitos son: 0, 1,2,…,9 la representación de un numero racional es como sigue:



Las computadoras representan internamente los números en sistema binario. Aquí los ‘bits’ juegan el papel de los factores de las sucesivas potencias de 2 en la descomposición de un numero:


Ejemplos


Representaciónen sistemas de punto fijo
Se toman dos números fijos tales que asignándose lugares a los dígitos enteros y lugares a los dígitos decimales.
Ejemplos
Si n=10, =4 y =6
25.543 se representara 0025 543000
0.0673 se representara 0000 067300
En este tipo de representación el numero 16537 no se representa a pesar de tener solo 5 dígitos.

Representación en sistemas de punto flotante
En estesistema cada número real puede ser representado en la forma:

Donde el exponente: b indica la posición del punto decimal con respecto al primer digito de la mantisa: a.
Se dice que un sistema es de punto flotante normalizado si imponemos a la mantisa la condición que su primer digito después del punto decimal sea distinto de cero, o sea:

Una computadora asigna una cantidad finita de t...